高考 第21讲 数列中的结构不良问题

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第21讲 数列中的结构不良问题
2020年新高考试卷中出现了结构不良试题，所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致不同的结论，难度与用时也会有所不同．此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题，从传统解题向解决问题的思维转变．

[典例 1]　(2021·全国甲)已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解析：　
①③⇒②．
已知{an}是等差数列，a2＝3a1．设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1．
因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①②⇒③．
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n．
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，
则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1．
②③⇒①．
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1．
设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，
所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，
所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，
所以数列{an}是等差数列．


[典例 2]　在等差数列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn．
在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析：　
(1)由题意，解得d＝2，a1＝2．∴an＝2＋(n－1)×2＝2n．
(2)选条件①：bn＝＝，
Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝．
选条件②：∵an＝2n，bn＝(－1)nan，∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，
当n为偶数时，Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]＝×2＝n；
当n为奇数时，n－1为偶数，Sn＝(n－1)－2n＝－n－1．
∴Sn＝
选条件③：∵an＝2n，bn＝2an·an，∴bn＝22n·2n＝2n·4n，
∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，①
4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)×4n＋2n×4n＋1，②
由①－②得，－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n＋1
＝－2n×4n＋1＝－2n×4n＋1，
∴Sn＝(1－4n)＋·4n＋1．
[典例 3]　给出以下三个条件：
①数列{an}是首项为2，满足Sn＋1＝4Sn＋2的数列；
②数列{an}是首项为2，满足3Sn＝22n＋1＋λ(λ∈R)的数列；
③数列{an}是首项为2，满足3Sn＝an＋1－2的数列．
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设数列{an}的前n项和为Sn，an与Sn满足________．
记数列bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
解析：　
选①，由已知Sn＋1＝4Sn＋2，(*)，当n≥2时，Sn＝4Sn－1＋2，(**)
(*)－(**)，得an＋1＝4(Sn－Sn－1)＝4an，即an＋1＝4an．
当n＝1时，S2＝4S1＋2，即2＋a2＝4×2＋2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，
故{an}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝22n－1．
bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，
cn＝＝＝＝－．
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝．
选②，由已知3Sn＝22n＋1＋λ，(*)，当n≥2时，3Sn－1＝22n－1＋λ，(**)
(*)－(**)，得3an＝22n＋1－22n－1＝3·22n－1，即an＝22n－1．
当n＝1时，a1＝2满足an＝22n－1，所以an＝22n－1，下同选①．
选③，由已知3Sn＝an＋1－2，　(*)，则n≥2时，3Sn－1＝an－2，　(**)
(*)－(**)，得3an＝an＋1－an，即an＋1＝4an．
当n＝1时，3a1＝a2－2，而a1＝2，得a2＝8，满足a2＝4a1，
故{an}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝22n－1，下同选①．
[典例 4]　在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，请说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋12 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面横线处并作答．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解析：　
选择①：存在满足条件的正整数k．
求解过程如下：因为a3＝12，所以a1＝＝3．所以Sn＝＝3(2n－1)．
令Sk>2 020，则2k>．因为292 020的正整数k的最小值为11．
5．在①b2b3＝a16，②b4＝a12，③S5－S3＝48这三个条件中任选一个，补充至横线上．若问题中的正整数k
存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
设正数等比数列{bn}的前n项和为Sn，{an}是等差数列，________，b3＝a4，a1＝2，a3＋a5＋a7＝30，是否存在正整数k，使得Sk＋1＝Sk＋bk＋32成立？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解析：　
在等差数列{an}中，∵a3＋a5＋a7＝3a5＝30，∴a5＝10，∴公差d＝＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n，∴b3＝a4＝8．
假设存在正整数k，使得Sk＋1＝Sk＋bk＋32成立，即bk＋1＝bk＋32成立．
设正数等比数列{bn}的公比为q(q>0)．
若选①．∵b2b3＝a16，∴b2＝4，∴q＝＝2，∴bn＝2n．∵2k＋1＝2k＋32，解得k＝5．
∴存在正整数k＝5，使得Sk＋1＝Sk＋bk＋32成立．
若选②．∵b4＝a12＝24，∴q＝＝3，∴bn＝8·3n－3．
∵8·3k－2＝8·3k－3＋32，∴3k－3＝2，该方程无正整数解，
∴不存在正整数k，使得Sk＋1＝Sk＋bk＋32成立．
若选③．∵S5－S3＝48，即b4＋b5＝48，∴8q＋8q2＝48，即q2＋q－6＝0，
解得q＝2或q＝－3(舍去)，∴bn＝2n．∵2k＋1＝2k＋32，解得k＝5．
∴存在正整数k＝5，使得Sk＋1＝Sk＋bk＋32成立．
6．在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解
答．设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，________，a1＝b6，若对于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k为常数)，求正整数k的值．
解析：　
由Tn＝2bn－1，n∈N*得，当n＝1时，b1＝1；当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－1，
从而bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，@钻研数学
由此可知，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，故bn＝2n－1．
①当a5＝b3＋b5时，a1＝32，a5＝20，
设数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d，即20＝32＋4d，解得d＝－3，
所以an＝32－3(n－1)＝35－3n，
因为当n≤11时，an>0，当n>11时，an0，当n>11时，an0，当n>11时，ann>1，求m的最小值．
解析：　
若选择①：
(1)当n＝1时，由a1＝S1＝1＋p＝1，得p＝0．
当n≥2时，由题意得Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．经检验，a1＝1符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由a1，an，am成等比数列，得a＝a1am，即(2n－1)2＝1×(2m－1)，
化简得m＝2n2－2n＋1＝22＋．
因为m，n是大于1的正整数，且m>n，所以当n＝2时，m取得最小值5．
若选择②：
(1)因为an＝an＋1－3，所以an＋1－an＝3，
所以数列{an}是公差d＝3的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2(n∈N*)．
(2)由a1，an，am成等比数列，得a＝a1am，即(3n－2)2＝1×(3m－2)，
化简得m＝3n2－4n＋2＝32＋．
因为m，n是大于1的正整数，且m>n，所以当n＝2时，m取得最小值6．
若选择③：
(1)由2an＋1＝an＋an＋2，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以数列{an}是等差数列．
设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝1，a6＝a1＋5d＝11，所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)同选择①．
8．在①b3＝a4，②a3＝3b3，③a2＝4b2这三个条件中任选一个，补充至横线上，再判断{cn}是否是递增数列，请说明理由．
已知{an}是公差为1的等差数列，{bn}是正项等比数列，a1＝b1＝1，________，cn＝anbn(n∈N*)．判断{cn}是否是递增数列，并说理理由．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解析：　
因为{an}是公差为1，首项为1的等差数列，所以an＝1＋n－1＝n．设{bn}的公比为q(q>0)．
若选①，由b3＝a4＝4，得b3＝b1q2＝4，而b1＝1，所以q＝2(负值已舍去)，
所以bn＝2n－1，因此cn＝n·2n－1．
因为＝＝