高考 第22讲 数列中的数学文化问题

这是一份高考 第22讲 数列中的数学文化问题，共13页。
第22讲   数列中的数学文化问题 纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养．数列与数学文化解题3步骤读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式 考点一　等差数列型[典例 1]　《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)A．钱　　　　　　　　B．钱　　　　　　　　C．钱　　　　　　　D．钱解析：　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得即甲得钱，故选D．[典例 2]　《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d，由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝．[典例 3]　(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有(　　)A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺　　　　　B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸　　　　　　　　　　　　D．立春的晷长比立秋的晷长短解析：　由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)．故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C．[典例 4]　《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为(　　)A．18　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．21　　　　　　　　D．25解析：　依题意得，该女子每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该女子最后一天织21尺布．[典例 5]　(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A．3 699块　　　　　B．3 474块　　　　　C．3 402块　　　　　D．3 339块解析：　由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C．[典例 6]　(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是(　　)A．此数列的第20项是200　　　　　　　　　　B．此数列的第19项是200C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2　　　　　D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)解析：　观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C．  【典例精练】@钻研数学1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：　设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意即解得则a5＝a1＋4d＝＋4×＝．2．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　)A．3.4升　　　　　　B．2.4升　　　　　C．2.3升　　　　　　D．3.6升解析：　设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9为等差数列，公差d，则由题意可知，故解得，d＝－0．2，a1＝2．4，所以中间节a4＋a5＝1．8＋1．6＝3．4．故选A．3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　)A．98项　　　　　　　B．97项　　　　　　　C．96项　　　　　　　D．95项解析：　能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2020得1≤n≤97，又n∈N＋，故此数列共有97项．4．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个．解析：　法一：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n＋1，m，n∈N，当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3时，n不存在；当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N．故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－≤k≤，则k＝0，1，2，…，134，共135个．即符合条件的a共有135个，故答案为135．法二：一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为an＝8＋15(n－1)＝15n－7，5．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为(　　)A．184斤　　　　　　　　B．176斤　　　　　　　　C．65斤　　　　　　　　D．60斤解析：　依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝a1＋(8－1)d＝184．6．中国古代数学有一题为：“现有一女子擅长织布，每天织布量都比前一天多，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月(按30天计)，共织390尺布”，则该女最后一天织布________尺．解析：　由题意可得每天织布的尺数构成等差数列，设公差为d，则前30天织布尺数的和S30＝390＝30×5＋d，解得d＝．所以最后一天织布的尺数为5＋29d＝5＋29×＝21．7．古代有这样一个问题：“今有墙厚22．5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为(　　)A．4　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．7解析：　依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{an}，且首项a1＝1，公差d＝．小鼠前三天打洞长度之和为＋1＋2＝，之后每天打洞长度是常数2，令n·1＋·＋＋(n－3)·2≥22(n指天数，且n是正整数)，则有n2＋11n－100≥0，即n(n＋11)≥100，则易知n的最小值为6．故选C．8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，则i＝(　　)A．4　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．7解析：　由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d，则有⇒⇒所以该金箠的总重量M＝10×＋×＝15．因为48ai＝5M，所以有48＝75，解得i＝6，故选C．9．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列．”则下列说法正确的是(　　)A．该金锤中间一尺重3．5斤 B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C．该金锤的重量为15斤 D．该金锤相邻两尺的重量之差的为1.5斤．解析：　设该等差数列为{an}，公差为d，a5＝2，a1＝4，则4＋4d＝2，解得d＝－．∴an＝4－(n－1)＝．∴a3＝3，S5＝＝15，∴a2＋a3＋a4＝＋3＋＝9，a5＋a1＝6，故选C．10．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图①所示)．将1，2，…，9填入3×3的方格内(如图②所示)，使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15，这个方阵叫做3阶幻方．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n的方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等，这个方阵叫做n(n≥3)阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn，如N3＝15，那么N9＝(　　)A．41　　　　　　　　B．45　　　　　　　　C．369　　　　　　　　D．321解析：　根据题意得，幻方对角线上的数成等差数列，则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1＋n2．根据等差数列的求和公式得Nn＝，则N9＝＝369．故选C．11．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90～100岁)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为(　　)A．94岁　　　　　　　B．95岁　　　　　　　C．96岁　　　　　　　D．98岁解析：　设年长者的年龄为t，由已知，其余19位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d＝1的等差数列，设最小者的年龄为a1，由“遂千百五二十岁”知，一遂就是1 520岁(一遂有20部，一部有4章，一章有19岁，且20×4×19＝1 520)．所以这20位老人的年龄之和为19a1＋d＋t＝1 520，整理得a1＋9＋＝80．因为t∈N*，a1∈N*，所以∈N*．又因为t∈(90，100)，所以t＝19×5＝95．故选B．@钻研数学 考点二　等比数列型[典例 7]　十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　根据题意，设这个等比数列为{an}，设其公比为q，又由a1＝1，a13＝2，则q12＝＝2，插入的第四个数应a5＝a1q4＝q4＝2，故选B．[典例 8]　我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？(　　)A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6解析：　不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn}，则由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn，则Sn＝＋＝2n－n－1＋1，当n＝3时，S3＝<10，当n＝4时，S4＝>10，故两个老鼠在第4天相逢．[典例 9]　(2017·全国Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A．1盏　　　　　　　　B．3盏　　　　　　　　C．5盏　　　　　　　　D．9盏解析：　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3．[典例 10]　数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641](　　)A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8解析：　因为Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)，所以an＝log4(Fn－1)＝log4(22n＋1－1)＝log422n＝2n－1，所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1．所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，故选B．[典例 11]　公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：让乌龟在阿基里斯前面1 000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000 米，则乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为(　　)A．米　　　　　B．米　　　　　C．米　　　　　　D．米解析：　法一：设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a1＝100，q＝，an＝a1qn－1．令10－2＝100×n－1，解得n＝5，所以S5＝＝＝，即乌龟爬行的总距离为米．故选B．法二：设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a1＝100，q＝．令an＝10－2，则Sn＝＝＝＝，即乌龟爬行的总距离为米．故选B．   【典例精练】12．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)A．f　　　　　　　　B．f　　　　　　　　C．f　　　　　　　　D．f解析：　从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为的等比数列，记为{an}，则第八个单音频率为a8＝f()8－1＝f，故选D．13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)A．192 里　　　　　　B．96 里　　　　　　C．48 里　　　　　　D．24 里 解析：　选B　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96 里，故选B．14．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面 1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．解析：　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5＝＝＝．故选B．15．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(　　)A．里　　　　　B．1 050里　　　　　C．里　　　　　D．2 100里解析：　由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700，则a1＝，则＝(里)．故选C．16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为________里，后三天一共走________里．解析：　由题可知这六天中每天走的路程数组成公比为的等比数列，设第一天走x里，则＝378，解得x＝192，即该人第一天走的路程是192里；后三天共走了192×＋192×＋192×＝42(里) ．17．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)A．11　　　　　　　　B．13　　　　　　　　C．15　　　　　　　　D．17解析：　设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12．7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12．7倍，故选B．  考点三　其他型[典例 12]　九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的多少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个环所需的最少移动次数为(　　)A．7　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．16　　　　　　　　D．22解析：　数列{an}满足a1＝1，且an＝所以a2＝1，a3＝4，a4＝7，a5＝16．故选C．[典例 13]　意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 022项的和为(　　)A．672　　　　　　　　B．673　　　　　　　　C．1 348　　　　　　　　D．2 021解析：　由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2．因为2 022＝674×3，所以数列{an}的前2 022项的和为674×2＝1 348．故选C．[典例 14]　1772年德国的天文学家J．E．波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：星名水星金星地球火星木星土星与太阳的距离47101652100除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列规律)．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星．1801年意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是(　　)A．388　　　　　　　　B．772　　　　　　　　C．1 540　　　　　　　　D．3 076解析：　设an是从水星开始，第n个行星与太阳的平均距离，依题意可知an＝an－1＋3·2n－3(n≥3)，a3＝10，a4＝16，a5＝28，a6＝52，a7＝100，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a4－a3)＋a3＝3·(2n－3＋2n－4＋…＋21)＋10＝3×2×＋10＝3·2n－2＋4(n≥3)．a2＝7也满足上式，故an＝3·2n－2＋4(n≥2)．所以a10＝3×210－2＋4＝772．故选B．@钻研数学[典例 15]　我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，．①第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an．则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)A．　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D．解析：　由题意知所得新数列为1×，×，×，…，×，所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝＝＝＝，故选C．