高考 第12讲 等差、等比数列的综合应用

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第12讲 等差、等比数列的综合应用
(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．
(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．

考点一　选填题
[典例 1]　已知数列{an}是等差数列，若a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为q的等比数列，则q＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
解析：　
依题意，得2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，
所以a1－1，a3－3，a5－5成等差数列．
又a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为q的等比数列，
因此有a1－1＝a3－3＝a5－5，q＝＝1．
[典例 2]　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a3＋a6＝2，则a9＝________．
解析：　
设等比数列{an}的公比为q，
因为Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，
所以2S9＝S3＋S6，显然q＝1不满足此式，所以q≠1，
所以＝＋，
整理得1＋q3＝2q6，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，解得q3＝－．
又a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1q2(1＋q3)＝a1q2＝2，所以a1q2＝4，
所以a9＝a1q8＝a1q2·q6＝4×＝1．
[典例 3]　(2017·北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．
解析：　
{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，
∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2．{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，
∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，则＝＝1．
[典例 4]　已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
解析：　
因为1，a1，a2，9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10．
又1，b1，b2，b3，9是等比数列，所以b＝1×9＝9，
因为b＝b2＞0，所以b2＝3，所以＝．
[典例 5]　等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．
解析：　
设{an}的公比为q．由题意得a1＋2a2＝a3，则a1(1＋2q)＝a1q2，q2－2q－1＝0，
所以q＝1＋(舍负)．则＝＝－1．
[典例 6]　已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
解析：　
依题意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，
所以＝＝－，
故tan ＝tan ＝tan ＝－tan＝－．
[典例 7]　各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．
解析：　
由题设可得an＋1＝，an＝，得2bn＝an＋an＋1⇒2bn＝＋，
即2＝＋，又a1＝1，a2＝3⇒2b1＝4⇒b1＝2，
则{}是首项为的等差数列．由已知得b2＝＝，
则数列{}的公差d＝－＝－＝，
所以＝＋(n－1)·＝，即＝．
当n＝1时，＝，
当n≥2时，＝，则an＝＝，a1＝1符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝．
[典例 8]　(2020·江苏)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．
解析：　
等差数列{an}的前n项和公式为Pn＝na1＋d＝n2＋n，
等比数列{bn}的前n项和公式为Qn＝＝－qn＋，
依题意Sn＝Pn＋Qn，即n2－n＋2n－1＝n2＋n－qn＋，
通过对比系数可知得故d＋q＝4．
[典例 9]　(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　@钻研数学　)
A．－24　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．8
解析：　
设{an}的公差为d，根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24．
[典例 10]　设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，＝______．
解析：　
设等比数列的通项公式an＝a1qn－1，又因为3a1，2a2，a3成等差数列，
所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2，解得q＝3或q＝1(舍)，
＝＝＝10．
[典例 11]　公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．
解析：　
设{an}的公比为q(q≠0且q≠1)，根据a1，a3，a2成等差数列，得2a3＝a1`＋a2，
即2a1q2＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q2－1－q＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0．
因为q≠1，所以q＝－，则S2＝＝·，
S3＝＝·，S4＝＝·，
因为mS2，S3，S4成等比数列，所以S＝mS2·S4，即＝m····，
因为a1≠0，所以≠0，所以＝m××，得m＝，故选D．
[典例 12]　在公差d＜0的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．
解析：　
由已知可得(2a2＋2)2＝5a1a3，即4(a1＋d＋1)2＝5a1·(a1＋2d)，
所以(11＋d)2＝25(5＋d)，解得d＝4(舍去)或d＝－1，所以an＝11－n．
当1≤n≤11时 ，an≥0，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝；
当n≥12时，an＜0，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－(a1＋a2＋a3＋…＋an)
＝2×－＝．
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
[典例 13]　已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11．那么一定有(　　)
A．a6≤b6　　　　　　　　B．a6≥b6　　　　　　　　C．a12≤b12　　　　　　　　D．a12≥b12
解析：　
因为等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11，
所以a1＋a11＝b1＋b11＝2a6，所以a6＝＝≥＝b6．
当且仅当b1＝b11时，取等号，此时数列{bn}的公比为1．
[典例 14]　已知正项数列{an}满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为(　　)
A．n　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D．
解析：　
由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，又an>0，∴＝2，
∴an＋1＝a1·2n．∴bn＝log2＝log22n＝n，∴数列{bn}的前n项和为，故选C．
[典例 15]　已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列．若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则(n∈N*)的最小值为(　　)
A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．2－2 　　　　　　　　D．
解析：　
由题意a1，a3，a13成等比数列，得(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2．
故an＝2n－1，Sn＝n2．
因此＝＝
＝
＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，
当且仅当n＝2时取得最小值4．



【典例精练】
1．等差数列{an}的公差为d，若a1＋1，a2＋1，a4＋1成以d为公比的等比数列，则d＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
解析：　
将a1＋1，a2＋1，a4＋1转化为a1，d的形式为a1＋1，a1＋1＋d，a1＋1＋3d，
由于这三个数成以d为公比的等比数列，故＝＝d，
化简得a1＋1＝d，代入＝d，得＝2＝d，故选A．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．
解析：　
设等比数列{an}的公比为q．∵S3，S9，S6成等差数列，
∴2S9＝S3＋S6，且q≠1．∴＝＋，即2q6－q3－1＝0，
∴q3＝－或q3＝1(舍去)．∵a8＝3，∴a5＝＝＝－6．
3．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
解析：　
设等差数列的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d，a7＝a1＋6d．
因为a1，a3，a7成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d．
所以＝＝．
4．已知Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则的值为(　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．10
解析：　
设数列的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，
故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8．
5．已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．
解析：　
设等比数列{an}的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，
即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，
所以＝＝＝＝＝，故选A．
6．设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列，的前n项和分别为Sn，Tn．若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，则＝________．
解析：　
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，得
解得故＝＝＝＝－．
7．已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则的值为(　　)@钻研数学
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
解析：　
已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，
∴a＝a2a7，
∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，
∴＝＝＝．
8．已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d≠0，若ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝5，则数列{kn}的通项公式kn＝________．
解析：　
由题意可得a1，a2，a5成等比数列，则a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
又d≠0，化简得d＝2a1＝2，所以等比数列的公比q＝＝3，
则akn＝a1qn－1＝a1＋(kn－1)d，即3n－1＝1＋2(kn－1)，
解得kn＝＋1＝．
9．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值为(　　)
A．6　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．9
解析：　
不妨设a＞b，由题意得
∴a＞0，b＞0，则a，－2，b成等比数列，
a， b，－2成等差数列，∴
b， ∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9．
10．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9等于(　　)
A．－8　　　　　　　　B．－6　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．0
解析：　
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，∴(a1＋2×2)2＝a1·(a1＋3×2)，即2a1＝－16，
解得a1＝－8．则S9＝－8×9＋×2＝0，故选D．
11．若等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝3a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5＝(　　)
A．　　　　　　　　B．112　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．121
解析：　
设等比数列{an}的公比为q，由已知得a2a5＝a3a4＝3a3，因为a3≠0，
所以a4＝3，即a1q3＝3　①．
因为a4与9a7的等差中项为2，所以a4＋9a7＝a4(1＋9q3)＝4　②，
联立①②解得q＝，a1＝81．所以S5＝＝121．
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为(　　)
A．－110　　　　　　　　B．－90　　　　　　　　C．90　　　　　　　　D．110
解析：　
∵a7是a3与a9的等比中项，∴a＝a3a9，又数列{an}的公差为－2，
∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n，
∴S10＝＝5×(20＋2)＝110．
13．已知各项均不相等的等比数列{an}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列{an}的前n项和，则等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．1
解析：　
设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，∴2×2a3＝3a2＋a4，
∴4a2q＝3a2＋a2q2，化为q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3．又数列的各项均不相等，
∴q≠1，当q＝3时，＝＝．故选A．
14．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3，S9，S6成等差数列，则(　　)
A．S6＝－2S3　　　　　　　B．S6＝－S3　　　　　　　C．S6＝S3　　　　　　　D．S6＝2S3
解析：　
设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则S6＝(1＋q3)S3，S9＝(1＋q3＋q6)S3，
因为S3，S9，S6成等差数列，
所以2(1＋q3＋q6)S3＝S3＋(1＋q3)S3，易知S3≠0，解得q3＝－，故S6＝S3．
15．设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)
A．15　　　　　　　　B．60　　　　　　　　C．63　　　　　　　　D．72

解析：　
由数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，
得数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)1＝n＋2．
由数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
得数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝2n－1，所以ban＝2n＋1，
所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝＝60．
16．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________．
解析：　
由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，
∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列，
∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1．
17．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是(　　)
A．a1＝22　　　　　　　　　　　　　　　　　B．d＝－2
C．当n＝10或n＝11时，Sn取得最大值　　　　D．当Sn＞0时，n的最大值为20
解析：　
等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，
由S6＝90，可得6a1＋15d＝90，即2a1＋5d＝30，①，
由a7是a3与a9的等比中项，可得a＝a3a9，
即(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，化为a1＋10d＝0，②，
由①②解得a1＝20，d＝－2，则an＝20－2(n－1)＝22－2n，
Sn＝n(20＋22－2n)＝21n－n2，
由Sn＝－＋，可得n＝10或n＝11时，Sn取得最大值110．
由Sn＞0，可得0＜n＜21，即n的最大值为20．故选BCD．@钻研数学
18．已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　)
A．3n＋1 　　　　B．3n－1　　　　C．　　　　D．

解析：　
∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，
又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比为q＝3，∴bn＋1－bn＝＝3，
∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋×3＝．故选C．
19．已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上(n∈N*)．数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn．则Tn的最小值为________．
解析：　
∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上，∴an＝2n－1(n∈N*)，
∴{an}是首项为a1＝1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝2n－1，则bn＝＝2n－12(n∈N*)，
∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列，
∴Tn＝－10n＋×2＝n2－11n＝2－．又n∈N*，
∴Tn的最小值为T5＝T6＝2－＝－30．
20．已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．
解析：　
由于a2，a5－1，a10成等比数列，
所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又a1＝5，
所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋d＝5n＋n(n－1)，
所以＝＝[3(n＋1)＋＋2]≥，
当且仅当3(n＋1)＝，即n＝2时等号成立．




考点二　解答题
[典例 16]　(2017·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解析：　
(1)设{an}的公比为q．由题设可得解得q＝－2，a1＝－2．
故{an}的通项公式为an＝(－2)n．
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n．
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
[典例 17]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝－，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，求Tn．
解析：　
(1)由已知2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)，①
n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3n＋3，②
①－②得：2an＝3an－3an－1－2·3n⇒an＝3an－1＋2·3n，
故＝＋2，则bn－bn－1＝2(n≥2)．
又n＝1时，2a1＝3a1－9＋3，解得a1＝6，则b1＝＝2．
故数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴bn＝2＋2(n－1)＝2n⇒an＝2n·3n．
(2)由(1)，得cn＝2·3n－2n
Tn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2(1＋2＋…＋n)＝2·－2·＝3n＋1－n2－n－3．
[典例 18]　已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
解析：　
(1)设数列{an}的公差为d．由题意可知
整理得即∴an＝2n－1．
(2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，
又S4Sn＝S，∴n2＝＝81，∴n＝9，公比q＝＝．
[典例 19]　(2020·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m．
解析：　
(1)设等比数列{an}的公比为q，根据题意，有解得所以an＝3n－1．
(2)令bn＝log3an＝log33n－1＝n－1，则Sn＝＝，
根据Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，可得＋＝，
整理得m2－5m－6＝0，因为m＞0，所以m＝6．
[典例 20]　(2017·全国Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2．
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3．
解析：　
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1．
由a2＋b2＝2得d＋q＝3．①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6．②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1．
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0．解得q＝－5或q＝4．
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21．当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6．
[典例 21]　(2019·全国Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
解析：　
(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0．
解得q＝－2(舍去)或q＝4．
因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1．
(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2．
[典例 22]　(2016·全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
解析：　
(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2．
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1．
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－．
[典例 23]　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)n，求数列{bn}的前n项和Tn．
解析：　
(1)由题意可得：＝1＋2(n－1)，可得：Sn＝2n2－n．
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3．
当n＝1时，a1＝1对上式也成立．∴an＝4n－3(n∈N*)．
(2)∵＋＋…＋＝5－(4n＋5)，
∴n≥2时，＋＋…＋＝5－(4n＋1)，
相减可得：＝(4n－3)× (n≥2)，
又＝满足上式，∴＝(4n－3)× (n∈N*)．
∴bn＝2n．∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝2n＋1－2．
[典例 24]　(2019·北京)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
解析：　
(1)设{an}的公差为d．因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d．
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2．所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12．
(2)法一　由(1)知，an＝2n－12．
则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0；当n1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn＝＝0．因为a2a4＝4a3＋1，
所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，
所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，所以an＝2n－1．
(2)a1＋a3＋a9＋…＋＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)
＝2×(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1)＝2×－(n＋1)＝3n＋1－n－2．
13．已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值．
解析：　
(1)根据已知a1＝1，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2＝d，
所以数列{an}是一个首项为1，公差为2的等差数列，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1．
(2)数列{an}的前n项和Sn＝n2．等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以q＝3，bn＝3n－1．
数列{bn}的前n项和Tn＝＝．
Tn≤Sn即≤n2，又n∈N*，所以n＝1或2．
14．已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6．
(1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn