湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试卷（Word版附答案）

2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高一数学试卷

考试时间：2023年4月12日下午15：00－17：00 试卷满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，若，则（        ）

A．0     B．1     C．0或1    D．2

2．若复数是纯虚数，则z的共轭复数（        ）

A．－1     B．－i     C．i      D．1

3．“”是“函数为偶函数”的（        ）条件

A．充分不必要   B．必要不充分   C．充要     D．既不充分也不必要

4．下列各式中，其值为的是（        ）

A．  B．  C．  D．

5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间的关系为，若要使牛奶保鲜时长超过96h，则应储藏在温度低于___℃的环境中．（附：，，答案采取四舍五入精确到0.1）（        ）

A．10.0     B．10.3      C．10.5    D．10.7

6．已知向量，，则下列说法错误的是（        ）

A．若，则       B．

C．若，则     D．若与的夹角为钝角，则

7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象．若在上单调递增，则m的取值范围为（        ）

A．    B．    C．    D．

8．已知△ABC满足，，则△ABC面积的最大值为（        ）

A．    B．     C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，，则下列结论中错误的是（        ）

A．若，则      B．若，则

C．若，则      D．若，则

10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，，则下列叙述正确的是（        ）

A．筒车转动的角速度

B．当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为

C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为

D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒

11．已知函数，下列说法正确的是（        ）

A．若定义域为R，则    B．若值域为R，则

C．若最小值为0，则     D．若最大值为2，则

12．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（        ）

A．   B．   C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，则的值为               ．

14．已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是               ．

15．在△ABC中，，，则               ．

16．在△OAB中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为               ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

求值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

18．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）当，时，将函数解析式化为的形式；

（Ⅱ）若当时，成立，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，已知，，角A的平分线AD与BC交于点D且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若___，求．

①，②，③，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

20．（本小题满分12分）

设函数，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，．

（Ⅰ）若，求B；

（Ⅱ）求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，．

（Ⅰ）求两座高塔底部A，B之间的距离；

（Ⅱ）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求值：；

（Ⅱ）判断函数的单调性，并证明你的结论：

（Ⅲ）求证有且仅有两个零点，，并求的值．

2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高一数学参考答案

一、单选题（每题5分，共40分）

二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，有错选的得零分）

11．【详解】

对于A，若函数定义域为R，则恒成立，当时，恒成立，满足题意；

当时，则有，解得：，综上，实数a的取值范围为：，故选项A错误；

对于B，若函数值域为R，则取尽大于零的所有实数，当时，，不满足题意；

当时，则有，解得：a≥2，所以若值域为R，则a≥2，故选项B正确；

对于C，若函数最小值为0，则有最小值1，由二次函数的图象和性质可得：，解得：a＝1，故选项C正确；

对于D，若函数最大值为2，则有最大值4，由二次函数的图象和性质可得：，解得：，故选项D正确；故选：BCD．

12．【详解】由题意知函数，的定义域均为R，

∵的图象关于直线x＝2对称，则，

∵，

∴，

∴，

故为偶函数，

由，得，

代入，得，

令，则，

∴，则，故B正确，C错误；

因为，令，则，

即，A正确；

由，故，

故由得，

∴，故．

所以是以4为周期的周期函数，

由，，令，则，得，

则，

又，令得，得，

又，

故，D正确．

故选：ABD．

三、填空题（每题5分，共20分）

13．5 14． 15．或 16．

16．【详解】如图：

由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得，

由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得，

所以，

解得，

所以，

因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得，

所以，

所以，

所以，

当且仅当，时，取等号．

故答案为：

四、解答题（共70分，第17题10分，其余各12分）

17．解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）原式．

18．解：

（Ⅰ）当，时，．

∴

；

（Ⅱ）恒成立

①当时，由（Ⅰ）知

∵，

∴当即时，；

②当时，．

综上可知，．

依题意得，解得，即为所求．

19．解：

（Ⅰ）法一：

由角平分线定理

∵AD平分角A，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得；

法二：

由

即：

∴

∴

（Ⅱ）由及，得．

如图，建立平面直角坐标系xAy，

则，，．

选①，则重心，，

选②，由外心P在直线上，可设，

由，得，

解得由，得，

解得，

∴，，

所以．

选③，由垂心P在直线上，可设，

则，，

由，得，

∴，

∴，，

所以．

20．解：

（Ⅰ）由题意

．

又根据正弦定理，有，，，

由，有，得，

因为A，，所以，

∴．

（Ⅱ）由（1）知，，

所以，

因为，

即，

所以，

则

，

，有，

所以，

所以的取值范围为．

21．解：

（Ⅰ）由题知，AD⊥AB，BC⊥AB，BC＝60，AD＝30，

如图，作DE⊥BC，垂足为E，

则四边形ABED为矩形，所以BE＝30，CE＝45．

设，，，则，

，

解得，

所以两座高塔底部A，B之间的距离为90m．

（Ⅱ）设AP＝t（0≤t≤60），则．

所以，，

所以

设（60≤m≤150），则，

所以

，

当且仅当即时，等号成立．

又因为在锐角范围内，越大，DPC越大，

所以当时，DPC取得最大值，

此时．

所以在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．

22．解：

（Ⅰ）当，且时，

∴

（Ⅱ）函数的定义域为，

在和上单调递增，

证明如下：

设，，则

①当时，，

∴，于是，

∴在上单调递增；

②当时，同理可得，

∴在上单调递增；

（Ⅲ）由于在上单调递增，且，，

∴在上有且仅有一个零点；

由于在上单调递增，且，，

∴在上有且仅有一个零点．

因此有且仅有两个零点，．

由（Ⅰ）知，

又∵，

∴，

∴是在上的零点，

∴．