2023年陕西省西安市经开五中中考数学一模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市经开五中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达亿元，数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组的两项是同类项的为(    )

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

3.  如图，小明将一个正方形纸片剪出一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则满足为整数的所有整数的和是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，，点、、在同一直线上，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在矩形中，是上的动点，，分别是，的中点，则的长随着点的运动(    )

A. 变小
B. 变大
C. 不变
D. 先变小再变大

8.  如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  函数中，自变量的取值范围是______．

10.  若三条边长为，，，化简：______．

11.  如图，两张完全相同的正六边形纸片边长为重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是        ．

12.  将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表．则______用含的代数式表示

13.  如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点若的面积为，则______．
 

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
如图，中，用尺规作图法作，与边交于点保留作图痕迹，不用写作法

17.  本小题分
如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作分别交，于点，．
求证：≌；
若，，求的长．

18.  本小题分
一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，且矩形的长与宽的比为，求这个矩形零件的边长．
 

19.  本小题分
现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款，花元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的折购物．
顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
小张要买一台标价为元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利，这台冰箱的进价是多少元？盈利商品的利润购物卡卖出的钱数

20.  本小题分
已知：如图，，，，，．
求证：； 
求的度数．
 

21.  本小题分
已知函数 ，
当，为何值时是一次函数？
当，为何值时，为正比例函数？
当，为何值时，为反比例函数？

22.  本小题分
小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别和的同心圆如图，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．
你认为游戏公平吗？为什么？
游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢”请你设计方案，解决这一问题．要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，于，
求证：≌；
若，求的度数；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取在右侧，连接，交反比例函数的图象于点．

求反比例函数的表达式；

求点的坐标；

求的面积．

25.  本小题分
温州某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产件甲或件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于件，当每天生产件时，每件可获利元，每增加件，当天平均每件利润减少元．设每天安排人生产乙产品．
根据信息填表：

若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润．
该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产件丙每人每天只能生产一件产品，丙产品每件可获利元，求每天生产三种产品可获得的总利润元的最大值及相应的值．

26.  本小题分
已知是边长为的正的外接圆，点为弧上一点．
如图，当恰为的直径时，求的长；
如图，点在线段上，点在线段上，且，连接，，若，求的值；
如图，延长交延长线于点，连接并延长交延长线于点请判断是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：亿，用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据科学记数法的表示形式解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与字母的指数不同不是同类项，故A错误；
B、与是同类项，故B正确；
C、与所含字母不同，不是同类项，故C错误；
D、与所含的字母不同，不是同类项，故D错误．
故选：．
依据同类项的定义回答即可．
本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元一次方程的应用，首先根据题意，设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是；然后根据第一次剪下的长条的面积第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【解答】
解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，
则，
去括号，可得：，
移项，可得：，
解得

答：每一个长条面积为．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：


，
当或或或时，为整数，
解得：或或或，
则满足为整数的所有整数的和为，
故选：．
将变形为，据此可得或时取得整数，解之求得的值可得答案．
本题主要考查代数式求值，分式的基本性质，解题的关键是将变形为，并根据为整数得出关于的方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
．
故选：．
由，可知，而，可求，再根据求．
本题考查了垂线的性质．关键是根据图形，利用互余关系，互补关系求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象不符，故A选项错误；
B.由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；
C.由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象不符，故C选项错误；
D.由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：．
根据各个选项先根据一次函数图象得到的范围，再通过判断二次函数的开口方向和对称轴即可求解．
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
，
是定长，
无论运动到哪个位置的长不变，
故选：．
易得为三角形的中位线，那么长恒等于定值的一半．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
由抛物线对称轴的位置判断，的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：由抛物线开口向下可知，
抛物线与轴交点在轴上方可知：，
对称轴在轴的右侧，
即，，
，
故不正确；
当时，，
，
故正确；
由对称知，当时，函数值大于，
即，
故正确；
，
，
，
，
，
故不正确；
当时，的值最大，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，
故正确．
故正确．
故选：．  

9.【答案】或 

【解析】解：由题意得，，
则或，
解得，或，
故答案为：或．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，基本都是在得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值，最后合并即可．
解：根据三角形的三边关系得：，，
原式
．
故答案为：

此题考查了三角形三边关系和绝对值的概念．
 

11.【答案】： 

【解析】解：正六边形的面积，
阴影部分的面积，
空白部分与阴影部分面积之比是：：，
故答案为：：．
求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．
本题考查正多边形和圆、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：剪次时，共有个正三角形．
故答案为．
从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多个三角形．即剪次时，共有．
此类题的属于找规律，从所给数据中，不难发现规律，再分析整理，得出结论．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
点为矩形的边的中点，
，
，
的面积为，
，解得．
故答案为．
设，利用点为矩形的边的中点得到，则，然后利用三角形面积公式得到，最后解方程即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：原式，
把代入得：原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的计算法则，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：如图，射线即为所求．
 

【解析】利用尺规作即可．
本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

17.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，连接，

，，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示
四边形是矩形，
，
∽，
，
由于矩形长与宽的比为：，
分两种情况：
若为长，为宽，
设，，
则，
解得：，
，；
为，为宽，
设，，
则，
解得：，
，；
综上所述：矩形的长为，宽为；或长为，宽为． 

【解析】根据矩形性质得，，则可证明∽，根据相似的性质得出对应边成比例，分两种情况：若为长，为宽，设，；为，为宽，设，；分别由比例式得出方程，解方程即可．
本题考查了相似三角形的应用：在实际问题中抽象出几何图形，通过证明三角形相似，利用相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．
 

19.【答案】解：设顾客购买元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．
根据题意，得，
解得，
所以，当顾客消费等于元时买卡与不买卡花钱相等；
当，
解得，
所以，当顾客消费大于元时买卡合算；
当，
解得，
所以顾客消费少于元时不买卡合算；
因为
所以小张买卡合算，小张能节省
元，
所以，小张能节省元钱；
设进价为元，根据题意，得
，
解得  
答：这台冰箱的进价是元． 

【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出买卡后付费等式是解题关键．
设顾客购买元金额的商品，根据花元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的折购物，列出方程进而求出即可；
根据中所求即可得出怎样购买合算即可解答；
首先假设进价为，则可得出进而求出即可．
 

20.【答案】证明：，，
，
两直线平行，同位角相等
已知
等量代换
内错角相等，两直线平行
解：，
两直线平行，同旁内角互补
，，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
求出，求出，根据平行线的判定推出即可；
根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质求出即可．
 

21.【答案】解：当函数是一次函数时，
，且，
解得：且；

当函数是正比例函数时，，
解得：，．

当函数是反比例函数时，，
解得：，． 

【解析】根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；
根据正比例函数的定义知，，，据此可以求得、的值；
根据反比例函数的定义知，，，据此可以求得、的值．
本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的关系是形式．
 

22.【答案】解：不公平；
阴，
即小红胜率为，小明胜率为，
游戏对双方不公平；

能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积；
设计方案：设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来如正方形，其面积为如图所示：
往图形中掷点如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录．
当掷点数充分大如万次，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷图形内．
设非规则图形的面积为，用频率估计概率，即频率掷入非规则图形内
概率掷入非规则图形内
故． 

【解析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
 

23.【答案】解：证明：，
，
，
，
，
在与中，，
≌；

由证得≌，
，
，
，
；

由证得≌，
，，
，
，
． 

【解析】由，得到，又因为，推出≌；
根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质得到结果；
由全等三角形的性质得到对应边相等，利用勾股定理解出结果．
本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，知识的综合运用是解题的关键．
 

24.【答案】解：将点代入，得：，
则反比例函数解析式为；

如图，过点作轴于点，

则、，
，
轴，且，
点的坐标为；

点坐标为，
所在直线解析式为，
由可得点坐标为，
过点作轴，延长交于点，
则点坐标为，
、、，
则的面积． 

【解析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积．
将点的坐标代入解析式求解可得；
利用勾股定理求得，由轴即可得点的坐标；
先根据点坐标得出所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点的坐标，再利用割补法求解可得．
 

25.【答案】；；；

由题意


解得，不合题意，舍去
元
答：每件乙产品可获得的利润是元．

设生产甲产品人




、都是非负整数
取时，，
即当时，
答：安排人生产乙产品时，可获得的最大利润为元． 

【解析】

解：由已知，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件．在乙每件元获利的基础上，增加人，利润减少元每件，则乙产品的每件利润为．
故答案为：；；；
见答案；
见答案．

【分析】
根据题意列代数式即可；
根据中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；
根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到与之间的关系式，用表示总利润利用二次函数性质讨论最值．
本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．  

26.【答案】解：由题意可知：，，
为直径，
，
；
如图，连接、，

在和中，
，
≌，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
有最大值．
由题意可得：，
，
，
设，
，
，
，
，
∽，
，
，
当为直径时，取得最大值，为：，
即有最大值，最大值为． 

【解析】为含角的直角三角形，根据长度即可求出；
证明≌得出为等边三角形即可解决问题；
通过∽，得，进而可知为直径时取得最大值．
本题以圆为背景考查三角形综合知识，熟练掌握等边三角形中的“手拉手模型”、相似三角形的性质与判定是解题关键．