2022泰州高二下学期期末数学试题含解析

2021~2022学年度第二学期期末考试

高二数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 可以表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据排列数的公式分析即可

【详解】为排列数，可以表示为

故选：B

2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，若事件，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件概率的公式，先求解，再求解即可

【详解】由题意，，

故选：B

3. 已知随机变量X的概率分布为

则X的均值为（    ）

A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7

【答案】C

【解析】

【分析】先利用频率和为1，求出的值，然后利用期望公式求解即可

【详解】由题意得，得，

所以，

故选：C

4. 《义务教育课程方案》将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课程内容共设置十个任务群，每个任务群由若干项目组成．其中生产劳动包括农业生产劳动、传统工艺制作、工业生产劳动、新技术体验与应用四个任务．甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，则恰有一个任务相同的选法的种数为（    ）

A. 16 B. 20 C. 24 D. 36

【答案】C

【解析】

【分析】先从四个任务中选择一个相同任务的方法总数为，再从剩下的三个任务中选两个分给甲乙即，即可求出答案.

【详解】先从四个任务中选择一个相同任务的方法总数为，

再从剩下的三个任务中选两个分给甲乙即，

所以甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，

则恰有一个任务相同选法的种数为：.

故选：C..

5. 的展开式中，常数项为（    ）

A. 8 B. 16 C. 18 D. 24

【答案】D

【解析】

【分析】将展开为，求出的通项，使，代入即可求出答案.

【详解】将展开为，

则的通项为：，

所以的展开式中，常数项为：

故选：D.

6. 商家为了解某品牌取暖器的月销售量y（台）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；

由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量约为（    ）台．

A. 56 B. 58 C. 60 D. 62

【答案】B

【解析】

【分析】根据表格中的数据，求得的值，将代入回归方程，求得的值，得出回归直线方程，代入时，即可求解.

【详解】根据表格中的数据，可得，

又由点在回归方程上，其中，

所以，解得，即，

当时，，即估计该商场平均气温为0℃的那个月取暖器销售量约为件.

故选：B.

7. 通过随机询问200名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

参考公式：独立性检验统计量，其中．

参考数据：

则根据列联表可知（    ）

A. 有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】A

【解析】

【分析】计算卡方再对照表格中的数据分析即可

【详解】根据列联表有，故有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

故选：A

8. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：，

则，

，

，

，

，

，

所以，

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中正确的是（    ）

A. 公式中的L和W具有相关关系

B. 回归直线恒过样本点中心

C. 相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强

D. 对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握越大

【答案】BC

【解析】

【分析】利用变量间相关关系的概念与性质，可判断A、C选项；由回归直线方程的性质，判断B选项；由分类变量的独立性检验，可判断D选项.

【详解】解：对于A，公式中，L和W关系明确，属于函数关系，不是相关关系，相关关系是一种非确定的关系，故A错误

对于B，回归直线恒过样本点的中心，故B正确；

对于C，相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强，故C正确；

对于D，对分类变量x与y，它们的随机变量越大，判断“x与y有关系”的把握越大，故D错误.

故选：BC.

10. 下列关于随机变量X的说法正确的是（    ）

A. 若X服从二项分布B（4，），

B. 若X服从超几何分布H（4，2，10），则

C. 若X的方差为D（X），则

D 若X服从正态分布N（3，），且，则

【答案】AB

【解析】

【分析】对A，根据二项分布的数学期望公式求解即可；对B，根据超几何分布的数学期望公式求解即可；对C，根据方差的性质判断即可；对D，根据正态分布的对称性求解即可

【详解】对A，若X服从二项分布B（4，），则，故A正确；

对B，若X服从超几何分布H（4，2，10），则，故B正确；

对C，若X的方差为D（X），则，故C错误；

对D，若X服从正态分布N（3，），且，则，故D错误；

故选：AB

11. 设，下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 在，，…，中，最大

【答案】ABD

【解析】

【分析】采用赋值法，两式相加即可判断A；求出的通项求出可判断B；对多项式两边求导，令，可判断C；求出的通项知为正，为负，可判断D.

【详解】令，所以①，

令，所以②，

所以①②得：，

所以，所以A正确；

，

则的通项为：

所以令，则，所以，

令，则，所以，

所以，故B正确；

对两边同时求导，

则，

令，所以，所以C错误；

由的通项知为正，为负，

所以，，

在，，…，中，最大，所以D正确.

故选：ABD.

12. 在正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（    ）

A. 平面⊥平面

B. 异面直线与BC所成角的余弦值为

C. 点M在内（包括边界）且，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为

D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】在正三棱柱中，如图建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量可判断A；求出直线与BC的方向向量，通过异面直线所成角的向量公式可判断B；因为点M在内，所以设可表示出的坐标，由可求出的范围，再求出CM与平面ABC所成的角的正弦值可判断C；设，求出，，表示出可判断D.

【详解】对于A，在正三棱柱中，为的中点，所以，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面，所以，则平面⊥平面，所以A正确；

对于B，，，设直线与BC所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故B不正确.

对于C，设平面，因为点M在内（包括边界）且，

所以设，则四点共面，则，

所以，

则，所以，所以，

因为，所以化简得：，

所以，解得：，

设CM与平面ABC所成的角为，所以

，

所以CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为，故C正确.

对于D，设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确；

故选: ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13 ________．

【答案】

【解析】

【分析】根据组合数的性质与计算公式求解即可

【详解】

故答案为：

14. 已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为________．

【答案】

【解析】

【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，

由题意可求出，所以可求出，即可求出随机变量X的标准差。

【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，

设，所以，

所以代入有：，

解得：，，

因为离散型随机变量X服从两点分布，所以.

则随机变量X的标准差为.

故答案为：.

15. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________．

【答案】

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.

【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，所以，， ，，，，

设平面的法向量为：

，

，令得：

又

点B到平面的距离为：.

故答案为：.

16. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝________，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________．

【答案】    ①. ；    ②. .

【解析】

【分析】分析可知，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X服从超几何分布，

由超几何分布的数学期望得；从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是2个红球的概率即可.

【详解】解：甲袋中有3个白球和4个红球，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X服从超几何分布，

所以由超几何分布的数学期望得：；

甲袋任取两个球的可能性有三种：

甲袋取出的为2个白球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；

甲袋取出的为1个白球、1个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；

甲袋取出的为2个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：

从乙袋中取出的是2个红球的概率为：.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：前三项的二项式系数之和为16；条件②：第3项与第4项的二项式系数相等；条件③：所有项的系数之和为1024

问题：在的展开式中，___．

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有的有理项．

注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】（1）5    （2），

【解析】

【分析】（1）选条件①：根据二项式系数公式，结合组合数计算求解n即可；

选条件②：根据二项式系数公式，结合组合数的计算求解即可；

选条件③：令求解即可；

（2）根据二项式定理的展开式，令的指数为整数求解即可

【小问1详解】

选条件①：由题意，前三项的二项式系数之和为，即，故，因为，故

选条件②：由题意，，故，解得

选条件③：令有，解得

【小问2详解】

由题意，的通项公式，

故当时为有理项，分别为，，故有理项有与

18. 已知，．

（1）求的值；

（2）当时，求实数k的值．

【答案】（1）25    （2）或

【解析】

【分析】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；

（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可

【小问1详解】

因为，，故，，故

【小问2详解】

，，，因为，故，即，故，即，故或

19. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．

（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？

（2）女生互不相邻的坐法有多少种？

（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】(1)采用捆绑法即可求解；

(2)采用插空法即可求解；

(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；

【小问1详解】

先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；

【小问2详解】

先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；

【小问3详解】

先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；

20. 如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．

（1）求二面角的大小；

（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为

【解析】

【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面PAB的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证平面，则即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.

（2）假设存在点Q满足题意，设，因为，即可求得Q点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得值，即可得答案.

【小问1详解】

由题意得平面ABCD，且，

以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示

所以，

所以，

设平面PAB的法向量，

则，即，

令，可得，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

又因为，，平面PAC，

所以平面，

所以即为平面的法向量，

所以，

又，由图象可得二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为

【小问2详解】

假设线段AD上存在一点Q，满足题意，

设，因为，

所以，解得，

所以，则，

因为平面PAB的法向量，

设得PQ与平面APB所成角为

所以，

解得或（舍）

所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，

21. 某公司对项目甲进行投资，投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据：

（1）用相关系数说明y与x相关性的强弱（本题规定，相关系数r满足，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；

（2）该公司计划用7百万元对甲，乙两个项目进行投资，若公司利用表格中的数据建立线性回归方程对项目甲所获得的利润进行预测，项目乙投资百万元所获得的利润y百万元近似满足：，求甲，乙两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大．

参考公式：，．相关系数．

参考数据：统计数据表中．

【答案】（1）y与x线性相关性较强；   

（2）甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大.

【解析】

【分析】（1）由已知数据求出线性相关系数的值，与0.95比较大小得结论；

（2）先由已知数据求得与的值，可得关于的线性回归方程，设对乙项目投资百万元，则对甲项目投资百万元，写出所获总利润，然后利用基本不等式求最值．

【小问1详解】

解：由题意，，，

，，，

，

y与x线性相关性较强；

【小问2详解】

解：由（1）可设关于的线性回归方程为：

，，

，

设对乙投资百万元，则甲项目投资百万元，

总利润，

时取等号，此时，

所以甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大．

22. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．

（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；

（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；

（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．

参考数据：若，则，，，．

【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；   

（2）答案见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）先得可取，再求概率从而可得分布列及数学期望；

（2）由二项分布可求解；

（3）利用间接法求解.

【小问1详解】

由题意，可知可取.则有

;

;

;

.

所以的分布列为：

因此的数学期望

【小问2详解】

由题意，可取的值为.则有

；

；

.

所以技术攻坚成功的概率.

因于，所以的方差.

【小问3详解】

由，则可知，

由于，则,

所以，

所以，

则，

记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.

则.