2023仙桃中学高一下学期第一次段考数学试题含解析

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仙桃中学2022级高一下学期第一次段考数学本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，只上交答题卡.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，且，则的值为（    ）A. 4 B. -4 C. 1 D. -1【答案】B【解析】分析】确定，得到，解得答案.【详解】，故，则，解得.故选：B2. 集合，集合，则的元素个数为（    ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 无数个【答案】A【解析】【分析】计算，，再计算交集得到答案.【详解】，则，即，故，， 故.故选：A3. 已知，则的值为（    ）A. 0 B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解即可．【详解】解：因为，．故选：B．4. 在中，，，，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】在中，根据，求得，再由正弦定理求解.【详解】在中，因，，所以，，，，由正弦定理得，所以，故选：D5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.【详解】在上的投影向量为：.故选：B6. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质由值域确定自变量确诊范围，解不等式得结果.【详解】因为在上的值域为，所以故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.7. 在弧度数为的内取一点P，使PB=2,则点P到角的两边距离之和的最大值为A.  B.  C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：过点分别作角的两边所在直线的垂线，设，可得，，根据辅助角公式，利用三角函数的有界性求解即可.详解： 如图所示，过点分别作角的两边所在直线的垂线，垂足分别是，则分别为点到角的两边的距离，设，则，，，从而有，即，于是，当，即时，取得最大值，故选C.点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .8. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，，则有，然后求解即可.【详解】因为所以，即，，即，其中，，，，，，，，.故选：A【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列结论中，是真命题的为（    ）A. 若，则B. 为不共线的向量，则C. 若，为非零向量，则D. 若非零向量满足，则【答案】CD【解析】【分析】由题可得或可判断A；利用数量积公式证明可判断B；由题可得判断C；利用数量积结合向量垂直的数量积关系可判断D.【详解】对于A，若，，则或，所以该命题是假命题；对于B，设向量的夹角为，则，而，由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题；对于C，由，可得，则，所以该命题是真命题；对于D，若非零向量、满足，，所以，则与垂直，所以该命题是真命题.故选：CD.10. 下列说法正确的是（    ）A. 若函数在存在零点，则一定成立B. “”的否定是“”C. 设为平行四边形的对角线的交点，为平面内任意一点，则D. 若为所在平面内一点，且，和面积的比为3【答案】BCD【解析】【分析】举反例，A错误，根据全称命题的否定得到B正确，根据向量的运算得到C正确，分别为，中点，则，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：取，则是函数零点，，错误；对选项B：“”的否定是“”，正确；对选项C：，正确；对选项D：如图所示，分别为，中点，则，即，故，则，正确.故选：BCD11. 函数的图象先向左平移个单位长度，然后向下平移1个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，则（    ）A. 函数的最小正周期是B. C. 的最小值为D. 函数在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】化简解析式，通过三角函数图象变换求得的解析式，根据的图象关于直线对称可得，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.【详解】因为，所以，又函数的图象关于直线对称，所以，解得，所以，所以函数的最小正周期是，故正确；，故B错误；由，，可得的最小值为，故C正确；由，可得或，故函数在上单调递增错误，故D错误.故选：AC．12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）A. 函数有3个零点B. 若函数有四个零点，则C. 若关于的方程有四个不等实根，则D. 若关于的方程有8个不等实根，则【答案】ACD【解析】【分析】画出的图象利用数形结合可判断ABC，根据图象及二次方程根的分布可判断D.【详解】对A，当时，单调递增，当时，单调递减，画出的图象，可以看出关于对称，当时，取得最小值为1，在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，A正确；对B，由图象可知，函数有四个零点，则，B错误；对C，由图象可知，若关于的方程有四个不等实根，不妨设，则关于对称，关于对称，所以，所以，C正确；对D，令，若关于的方程有8个不等实根，则要有2个不相等的实数根，且，所以，所以，即，故D正确.故选：ACD.三.填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________.【答案】##0.25【解析】【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】因为，所以，，所以，所以.故答案为：14. 的周期为2，值域为，且为偶函数，则的解析式__________.（写出一个即可）【答案】(答案不唯一）【解析】【分析】取，再验证周期，值域和奇偶性得到答案.【详解】取，则函数周期为，，，，函数为偶函数，满足条件.故答案为：15. 已知，则使得成立的的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先化简函数，求出函数的奇偶性和单调性，然后化简要求的结果，最后运用单调性得到不等式，继而求出结果【详解】,,故为偶函数令,当时，为减函数当时，为增函数则当时，为减函数当时，为增函数,,,,,,,故则的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，对于题目中的已知条件和问题进行化简是本题的关键，将其转化为运用函数的单调性解不等式，渗透了转化思想．16. 如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】（1）如图所示，，计算得到答案.（2）设夹角为，，则，，得到范围.详解】如图所示：；设夹角为，，，则，，故.故答案为：；四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【答案】（1）14；（2）.【解析】【分析】分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，.（1）∵，，∴.（2）∵，，，由，得，∴解得∴.【点睛】本题考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 已知向量与，且，其中.（1）求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示可得，再结合，可得解；（2）根据两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即得.【小问1详解】因为向量与，且，所以，又，，，，，；【小问2详解】，，所以，又，则，，又，所以.19. 已知函数的部分图象如图所示，且直线为的图象的一条对称轴.（1）求的解析式；（2）设函数在区间上有两个不同实根，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）确定周期得到，代入对称轴得到，再根据得到，得到解析式.（2）确定，画出函数图像，根据图像得到答案.【小问1详解】根据图像知：，故，；且，即，，当时满足条件，此时，则，，则，故，【小问2详解】，，则，，画出函数的图形，如图所示：根据图像知：在区间上有两个不同实根，则20. 如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.（1），求的值；（2）求证：，并求的最小值.【答案】（1）    （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）确定，得到答案.（2）确定，得到，确定，展开利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】，故，【小问2详解】，三点共线，故，即，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.21. 仙桃中学新校区有一近似矩形的水塘，已知长米，宽米，为了便于师生平时休闲锻炼，学校计划在水塘建造三座小桥和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示.（1）设（弧度），试将三座桥的全长（即的周长）表示成的函数，并求出此函数的定义域；（2）建这三座桥，每米建设预算平均费用为1250元，试问如何设计才能使总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取取1.42）.【答案】（1），.    （2）时，总费用最少为，【解析】【分析】（1）确定，则，，，再计算定义域得到答案.（2）设，则，化简得到，计算最值得到答案.小问1详解】，则，则，，，故，当与重合时，最小，满足，，此时；当与重合时，最大，满足，，此时；故，.【小问2详解】，.设，，则，，故，，当，即时，最小为，总费用最少为，22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的叠加向量.已知函数.（1）求的叠加向量；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）化简得，即得的叠加向量；（2）求出，化简得到对任意恒成立，设，.求出函数最大值即得解.【小问1详解】，所以的叠加向量.【小问2详解】由题得所以.由题得，所以，因为，所以.所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，设，.当时，取到最大值.所以.