2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期第一次月考数学（A卷）试题含解析

2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期第一次月考数学（A卷）试题

一、单选题

1．已知两点，，且直线AB的倾斜角为，则a的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】因直线AB的倾斜角为，则A，B两点横坐标相等.

【详解】因直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率不存在， 则A，B两点横坐标相等，故.

故选：D

2．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．

【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；

对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；

对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；

对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；

对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．

故选：C．

3．在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法求出的值，再求异面直线所成角即可.

【详解】因为直三棱柱，所以底面，

又因为，所以两两垂直，

以为轴建立如图所示坐标系，

设，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量，

则，解得，

所以直线与侧面所成的角的正弦值，

解得，

所以，，

设异面直线与所成的角为，

则，

所以异面直线与所成的角的正弦值为.

故选：D

4．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（    ）

A．Q B．R C．S D．T

【答案】A

【分析】连接点P和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.

【详解】

设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，

因为，所以越小，越大，越大，

所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.

故选：A.

5．如图，在三棱锥中，点分别在棱则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解.

【详解】

，

所以.

故选：C

6．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（　　）对称

A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x

【答案】B

【分析】将x换为﹣x，y不变，将y换为﹣y，x不变，将x换为﹣x，y换为﹣y，将x换为y，y换为x，判断变化后的方程与原方程的关系，从而得到结论.

【详解】曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，

将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，所以曲线C关于y轴对称；

将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于x轴对称；

将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于原点对称；

将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，所以曲线C不关于直线y＝x对称．

故选：B．

7．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ）

①圆的圆心为，半径为

②直线：与圆相交

③圆与圆：相交

④过点作圆的切线，切线方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点在圆，可知点在圆，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确.

【详解】对于①，由可知，圆心为，半径为，故①正确；

对于②，圆心到直线的距离，所以直线：与圆相交，故②正确；

对于③，圆：的圆心，半径为，

因为圆心距，且，

所以圆与圆：相交，故③正确；

对于④，因为点在圆：上，所以点为切点，

所以切点与圆心的连线的斜率为，

所以切线的斜率为，

所以切线方程为：，即，故④不正确.

故选：C

8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，求出、，利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.

【详解】如下图所示，易知点、关于轴对称，连接，所以，，

由圆的几何性质可得，所以，，，

由双曲线的定义可得，

因此，双曲线的离心率为.

故选：C.

二、多选题

9．在棱长为的正方体中，则（    ）

A．平面

B．直线平面所成角为45°

C．三棱锥的体积是正方体体积的

D．点到平面的距离为

【答案】AC

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题.

【详解】正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，.

，，，，，

得，，由平面，，∴平面，A选项正确；

，，设平面的一个法向量，

则有，令，得，，则，

，所以直线平面所成角不是45°，B选项错误；

为边长为的等边三角形，，

点到平面的距离，

三棱锥的体积，而棱长为的正方体的体积为，

所以三棱锥的体积是正方体体积的，C选项正确；

，，设平面的一个法向量，

则有，令，得，，则，

，点到平面的距离为，故D选项错误.

故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）

A．抛物线的准线方程是

B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是

C．双曲线与椭圆的焦点相同

D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则

【答案】ACD

【分析】由椭圆，双曲线，抛物线的方程与性质求解，

【详解】对于A，抛物线的准线方程是，故A正确，

对于B，当即时，方程表示圆，故B错误，

对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，故C正确，

对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，

，而，则，故D正确，

故选：ACD

11．已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．被圆截得的弦长的最小值为

D．若圆上有四个点到的距离为1，则

【答案】BC

【分析】A选项，由直线垂直列出方程，求出；B选项，由直线平行列出方程，求出的值；C选项，求出直线过定点，确定当直线与垂直时，截得的弦长最短，求出最小值；D选项，数形结合得到圆心到的距离小于1，列出不等式，求出的取值范围.

【详解】若，则，解得，故A不正确；

若，则，解得或m=5．

当m=5时，重合，当时，符合题意，故B正确．

因为直线过定点，的圆心为，，

当直线与垂直时，即当m=2时，被圆截得的弦长最短，最小值为，故C正确．

因为圆的圆心，半径为2，

上有四个点到的距离为1，所以圆心到的距离小于1，

由，解得或，故D不正确．

故选：BC

12．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（    ）

A．直线，的斜率之积为 B．的离心率为2

C．的最小值为 D．四边形的面积可能为

【答案】AC

【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为，设点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.

【详解】由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；

由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；

设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；

由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，

故选：.

三、填空题

13．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是__________．

【答案】

【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即得.

【详解】∵，由得，

，

即．

故答案为：.

14．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________.

【答案】

【分析】根据空间向量数量积的运算律求解.

【详解】∵，

∴，

设二面角为，则，

由题意可得：，则，

故，整理得，即这个二面角的余弦值为.

故答案为：.

15．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A．若．则________．

【答案】

【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.

【详解】设准线与y轴交于点M，则．

由抛物线定义可得．

又，所以是等边三角形．

所以．

所以．所以．

因为准线l的方程是，所以点P的纵坐标为3．

代入中，得，解得．

所以点或．

所以．

故答案为：

16．已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为______．

【答案】

【分析】设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可.

【详解】解：设，

因为点满足，

所以，，整理得，

所以，点在圆上，

因为，点也在圆上

所以，圆与圆有公共点，

因为圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以，，解得，

所以，的取值范围为

故答案为：

四、解答题

17．已知点和直线点是点A关于直线的对称点.

(1)求点的坐标；

(2)为坐标原点，且点满足.若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点，根据点关于直线对称可列出方程，联立解得答案；

（2）设点，根据求得P点轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，可知圆心到直线距离小于等于半径，解不等式可得答案.

【详解】（1）设点，由题意知线段的中点在直线上，

故：，①

又直线垂直于直线，故，②

联立①②式解得：，故点的坐标为；

（2）设点，由题，则，

故，化简得，

又直线与圆有公共点，

故，解得 .

18．如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.

(1)证明：；

(2)若，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明线线垂直；

(2)利用空间向量的坐标运算求面面角.

【详解】（1）平面平面，

如图，连接四边形为正方形，，

又平面，

平面，

平面.

（2）由题意知直线两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得，

.

设平面与平面的法向量分别为.

则令，则，

令，则，

，

故二面角的正弦值为.

19．已知圆C过点，圆心C在直线上，且圆C与x轴相切．

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点的直线l与圆C相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】(1)待定系数法求圆的方程即可；

(2) 设，根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求的值，从而得到直线l的方程．

【详解】（1）由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切．半径，

所以设圆C方程为

又圆C过点，

解得

圆C方程为．

（2）由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设，即

，设C到l的距离为d，

则，

为直角三角形，，，

或，

故直线l得方程为或．

20．已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为．

(1)求的方程；

(2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解；

（2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解.

【详解】（1）由题意可知，点F的坐标为，

因为，所以点P的横坐标为，不妨设，

将点P坐标代入得，

所以的面积，解得，

所以C的方程是.

（2）当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意.

当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，，

则，两式相减得，

因为点(1,1)是线段AB的中点，所以，

所以

所以直线的方程为，即.

21．如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，为的中点，连接.若图2中，

(1)求线段的长；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到，证明出线面垂直，得到，由勾股定理求出的长；

（2）结合第一问得到两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.

【详解】（1）∵为中点，，，

∴在图中，且，连接CE，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵AE=BE=1，

∴C点落在以AB为直径的圆上，

，

又图2中，，平面ADC，

平面，

∵平面，

∴，由勾股定理得；

（2）取中点，连接，则，EF⊥AC，

由（1）知⊥平面ACD，

因为平面ACD，所以BC⊥DF，故EF⊥DF，

因为AD=DC，所以DF⊥AC，易得两两垂直，

以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

∴，，

设为平面的一个法向量，则，即，

取，有.

，

∴直线与平面所成的角的正弦值为.

22．已知点，点分别为椭圆的左､右顶点，直线交曲线于点是等腰直角三角形，且．

(1)求的方程：

(2)设过点的动直线与相交于，两点．当以为直径的圆过坐标原点时，求直线的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；

（2）利用“设而不求法”直接求解.

【详解】（1）由题是等腰直角三角形，所以，所以.

设，由，

即，解得：

代入椭圆方程，即，解得：.

椭圆C的方程为.

（2）直线斜率不存在时，以以为直径的圆为，不经过坐标原点，不合题意；

当直线斜率存在，可设的方程为.

由，得，由直线和C有丙个不同的交点，，即，解得：.

又

又因为点在以为直径的圆上时，即.

所以

所以

解得：，即（满足，符合题意）.

存在直线的斜率，使以为直径的圆过坐标原点