2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，圆的圆心、半径是等内容，欢迎下载使用。
2022—2023学年高二下期第一次月考理科数学试题考试范围：立体几何、直线与圆、圆锥曲线、导数考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。  1．已知，则的值为（    ）A．             B．–                C．               D．–2．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ）A．         B．            C．           D．3．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ）A．       B．         C．       D．4．已知，是椭圆的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则的周长为（    ）A．14            B．16                C．          D．5．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ）A．与                         B．与C．与                     D．与6．已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）      A．          B．            C．           D．不能确定   7．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减 8．圆的圆心、半径是（　　）A．，4         B．，2           C．，4        D．，29．过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（    ）A．2             B．1               C．                D．10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，有如下说法：①双纽线关于原点中心对称；②；③双纽线上满足的点有两个；④的最大值为.其中所有正确的说法为（    ） A．①②             B．①③            C．①②③               D．①②④11．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（    ）A．1             B．2                C．3                   D．412．已知，，，则（）A．         B．             C．          D． 第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知抛物线的焦点在直线上，则______.14．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：），则质点M在时的瞬时速度为___________．15．已知，则直线必过定点_______16．已知曲线，直线，曲线上恰有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是_____________. 三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17．已知椭圆经过点，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.    18．圆的圆心为，且过点.(1)求圆的标准方程；(2)直线与圆交两点，且，求.     19．如图，直三棱柱的底面为正三角形，，点分别在上，且, ，. (1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．      20．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递减，求实数的取值范围.   21．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上.(1)求C的方程；(2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值.     （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.(1)求线段的长度；(2)求顶点的轨迹方程.         23．已知二次函数.(1)判断与的大小；(2)判断在区间与的平均变化率的大小. 
2022—2023学年高二下期第一次月考理科数学试题参考答案1．C【分析】求导，再令即可得解.【详解】，所以.故选：C.2．D【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可.【详解】因为，所以，，所以切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，故选：D.3．B【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.【详解】椭圆的焦点为．因为所求双曲线的离心率，所以其实半轴长为2，虚半轴长为，故所求双曲线的方程为．故选：B4．C【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.【详解】由题可知，，的周长为．故选：C5．C【分析】根据的范围以及曲线方程确定正确答案.【详解】A选项，中，中，所以不是相同曲线. B选项，中，中，所以不是相同曲线.C选项，，是相同曲线，C选项正确.D选项，中，中，，所以不是相同曲线.故选：C6．C【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果．【详解】记，，由图易知，所以．故选：C．7．D【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.【详解】根据导函数的图象可知，在区间上递减，在区间上，递增，所以D选项正确，ABC选项错误.故选：D8．D【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【详解】圆的圆心为半径故选：D9．D【分析】根据给定条件，确定动点和两个切点为顶点的三角形形状，求出切线长即可作答.【详解】令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则，而，于是，又，因此为正三角形，，所以连接两切点线段的长为.故选：D10．D【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断,据此可求出选项.【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确；对于②，根据三角形的等面积法可知，即，所以，所以②正确；对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，所以，得，所以这样的点只有一个，所以③错误；对于④，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，所以④正确，故选：D11．B【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相似建立方程，解方程得到结果.【详解】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由可得，如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，设，则，，故．因为，所以．在直角三角形中，，，，所以，所以，解得．设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以， 即，解得，故选：B．【点睛】思路点睛：求解本题的关键是观察两个三角形间的关系，将三角形的面积间的关系转化为线段长之间的关系，并利用抛物线的定义及平面几何的知识求解．12．C【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，从而得到；再直接计算，从而得到，进而得到；由此得解.【详解】令，，则，故在上单调递减，所以，即，即，故；因为，，所以，故，即，即；综上：.故选：C.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．13．6【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.【详解】抛物线的焦点为；焦点在直线上故答案为：014．【分析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以质点在时的瞬时速度为.故答案为：.15．【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.【详解】因为，所以，整理得，即直线必过定点．故答案为：．16．【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围，由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围.【详解】由，得曲线是以为圆心，半径为2的圆的上半部分.在曲线中，令，得或4，将代入直线得，将代入直线得，当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离为2，得，所以当或时，直线与曲线有一个公共点；当时，直线与曲线有两个公共点.如下图所示：记与曲线相切的直线为，过且斜率为1的直线记为.当直线与距离为1时，即，∴或，取，此时曲线上有2个点到直线距离为1；当直线与距离为1时，即，∴或，取，此时恰有3个点到直线的距离为1.∴.故答案为：.17．(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，把点的坐标代入方程，得，解得.所以椭圆的方程为.（2）联立方程组消去，得.解得或不妨设，，则.18．(1)(2)或 【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为：；（2）设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理得：，即，解得：或.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取，中点设为，连接，以为原点，为轴建立坐标系，设平面的法向量为，平面的法向量为，利用即可证明平面平面；（2）设平面的法向量，平面与平面夹角为，利用求解即可.【详解】（1）取，中点设为，连接，因为直三棱柱，所以平面平面，，又为正三角形，，平面平面，面，所以平面，因为平面，所以两两垂直，以为原点，为轴建立如图所示坐标系，则由题意可得，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，因为，所以平面平面.（2）由（1）得，设平面的法向量，则，取，设平面与平面夹角为，则.20．(1)(2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可;（2）根据导数和函数单调性之间的联系即可.【详解】（1）因为，所以，所以.因为，所以，所以所求切线方程为，即.（2）因为在上单调递减，所以在上恒成立.因为，所以，即.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故实数a的取值范围是.21．(1)(2)证明见解析，定值为 【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进而求出结果；(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.所以在上.则，解得，故的方程为.（2）当切线的斜率不存在时，得.当时，可得，.，则.当时，同理可证.当切线的斜率存在时，设.因为与圆相切，所以圆心到的距离为，即，联立得.设，，则，..由，得，则.综上，若圆的切线与交于点A，B，则，所以由等面积法可得，所以为定值，定值为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 22．(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.【详解】（1）椭圆的方程为，椭圆的方程为，分别为椭圆的左焦点和右焦点，，，线段的长度；（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，，，,．点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，设该双曲线方程为且，顶点的轨迹方程为23．(1)<(2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率 【分析】（1）将自变量代入函数式直接运算再比较大小；（2）直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.(1)因为，所以，，所以<.(2)在区间的平均变化率为（1），在区间的平均变化率，所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率.