2022-2023学年安徽省皖南十校高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年安徽省皖南十校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}

【答案】B

【分析】先求出集合B，再求两集合的交集

【详解】由，得，解得，

所以，

因为

所以．

故选：B．

2．函数的定义域为（    ）

A．[0，1) B．(－∞，1) C．(1，+∞) D．[0，+∞)

【答案】A

【分析】直接根据函数解析式要求求解函数定义域即可.

【详解】已知，

则，解得，即函数的定义域为.

故选：A

3．已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值

【详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3），

∴sinα，cosα，

∴sinα+cosα．

故选：A．

4．已知则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意可知，再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】因为，解得，

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.

【详解】由幂函数的定义知，解得或．

又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．

故选：D．

6．设，，，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数单调性即可判断出三个数的大小，得出结果.

【详解】根据对数函数和在都是单调递增函数可知，

，即；

，即；

可得.

故选：C

7．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：，）（    ）

A．2032 B．2035 C．2038 D．2040

【答案】D

【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.

【详解】设2022年我国GDP（国内生产总值）为a，在2022年以后，每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP（国内生产总值）为，

由题意，经过n年以后的GDP（国内生产总值）实现翻两番的目标，则，

所以，

所以到2040年GDP基本实现翻两番的目标.

故选：D.

8．已知函数，若关于x的方程有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.

【详解】作出函数的图象如下，

由图可知，当时，直线与的图象仅有一个交点，

即关于x的方程有且仅有一个实数根，

所以.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9．命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：，，利用判别式小于即可求解.

【详解】因为命题p：，是假命题，

所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，

则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合，

故选：.

二、多选题

10．如果是第四象限角，那么可能是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】BD

【解析】依题意求出的取值范围，从而得出的取值范围，即可判断所在的象限；

【详解】解：由已知得，，所以，，当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．

故选：BD．

11．若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数(且)的图像经过第一、二、三象限，判断a， b的范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】解：因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，

所以，，

所以是增函数，是减函数，

则，，

故选：BC.

12．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.

【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.

对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立.

对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立.

对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立.

故选：BCD.

三、填空题

13．半径和圆心角都是的扇形的面积为____________．

【答案】

【分析】根据扇形面积公式求解即可.

【详解】解：扇形的面积，

故答案为：

14．已知函数的零点为，则，则______．

【答案】2

【分析】根据函数的单调性及零点存在定理即得.

【详解】∵函数，函数在上单调递增，

又，

∴，即.

故答案为：2.

15．若，则的最小值为___________.

【答案】##

【分析】利用基本不等式“1的代换”求出最小值.

【详解】由，得.当且仅当，即，时，取得最小值.

故答案为：.

16．已知定义在上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是________________________．

【答案】

【解析】判断函数的单调性，结合单调性和奇偶性即可得关于实数的不等式，从而可求出其取值范围.

【详解】因为在上递增，所以在上递增.

因为为偶函数，所以等价于，

即，解得，

故答案为: .

四、解答题

17．已知集合，，.

（1）若，求实数a取值范围；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．

（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.

【详解】（1）若，则，得；

（2）由，得，即，

所以，，

因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，

即，解得.

即实数a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．

18．已知，是第三象限角,求：

（1）的值；

（2）的值.

【答案】（1）2   （2）

【分析】（1）先根据角所在象限，判断各个三角函数的正负情况，再根据同角三角函数关系求解.

（2）根据诱导公式化简分式，再代入值，计算求解.

【详解】（1）由题意，是第三象限角，则，

又，

（2）由诱导公式

原式

【点睛】本题考查：（1）同一角的三角函数求值；（2）利用诱导公式化简三角函数式，并求值，属于基础题.

19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）讨论关于x的方程的根的个数．

【答案】（1）；（2）具体见解析．

【分析】（1）根据偶函数的定义求出时的函数解析式即可.

（2）对参数分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.

【详解】解：（1）由图可知，解得．

设，则，

∵函数是定义在上的偶函数，

∴，

∴．

∴．

（2）作出函数的图象如图所示：

．

由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；

当或时，关于x的方程的根的个数为2；

当时，关于x的方程的根的个数为4；

当时，关于x的方程的根的个数为3．

【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.

20．已知函数（且）为奇函数.

（1）求的定义域；

（2）求关于的不等式的解集.

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；

【解析】（1）根据函数为奇函数，利用列式求解，再代入解不等式；（2）分类讨论和两种情况，分别求解分式不等式，再与定义域求交集.

【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，

即，

所以，得，又因为，所以

根据解析式可得，，所以.所以的定义域为，

（2）解不等式，即解

当时，等价于，即，解得；

当时，等价于，即，解得或，

又因为，所以解集为.

综上，当时，解集为；当时，解集为；

【点睛】解对数不等式问题时，首先需要注意定义域的限制，其次如果底数不确定时，需要分类讨论底数和两种情况，结合对数函数的单调性求解不等式解集.

21．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价供货价格.

（1）求每套丛书利润与售价的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？

（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1），总利润为(万元)；（2）当元时，每套利润最大为元.

【解析】（1）首先据销售量求得的范围，然后计算出供货价格，可得利润函数，令代入计算出每套书的利润，再乘以销量可得总利润；

（2）利用基本不等式可得最值．

【详解】（1）∵∴

当时，(元)

此时销量为(万件)

总利润为(万元)

（2）

∵

∴

∴

当且仅当，即元时，每套利润最大为元.．

【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是确定利润函数，并凑出应用基本不等式的条件“一正二定”，然后再考虑“三相等”．

22．已知e是自然对数的底数，．

(1)判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的；

(2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取，且，可证，即，则可判断函数单调性；

（2）将对任意的恒成立，转化为恒成立，即可求出a的取值范围.

【详解】（1）解：函数在上单调递增，证明如下：

任取，且，

则

因为，且，所以，

所以，，，

故，即，

所以在上单调递增.

（2），

问题即为恒成立，显然，

首先对任意成立，即

因为，则，所以.

其次，，即为,

即成立，亦即成立,

因为，所以对于任意成立，

即，所以.

综上，实数的取值范围为.