2022-2023学年湖南省岳阳市华容县高二上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市华容县高二上学期期末数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省岳阳市华容县高二上学期期末数学试题 一、单选题1．直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，，因此，.故选：C.2．如图，已知平行六面体，则(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的加法法则即可计算．【详解】．故选：C．3．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（    ）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺【答案】A【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A．4．圆的圆心和半径分别是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.5．椭圆与椭圆的（    ）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】椭圆的焦点在轴，其对应的与前一个椭圆的长短轴均不同，可知，焦距相等.【详解】易知D对；又，故AB错；根据知：C错；故选：D6．已知数列是等比数列，若，，，则等于（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】代入等比数列求和公式求解.【详解】由题意知，得，故选：B7．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、、，，，则，所以，，因为平面，平面，平面，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，直线到平面的距离为.故选：A.8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则，∴椭圆的离心率为．故选：A﹒ 二、多选题9．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　）A．公差的取值范围是 B．C．  D． 【答案】BCD【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C.【详解】解：由题意得,,，所以，解得，所以，故A错误；由，故B正确；由，故，C选项正确；由等差数列性质，，故D正确.故选：BCD10．下列说法中，正确的有（    ）A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为B．直线在轴的截距是2C．直线的倾斜角为30°D．过点且倾斜角为90°的直线方程为【答案】CD【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.故选：CD11．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（    ）A．若，则，的夹角是锐角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底【答案】BD【分析】对A选项未排除夹角为时的情况，对B计算，看其是否为0，对C选项，根据向量数量积的定义即可判断，对D选项检验三者向量是否共面即可.【详解】对A选项，若共线且同方向，则，但夹角为，故A错误，对B选项，，故，故B正确，对C选项，根据向量的数量积定义知,时,不一定成立,选项C错误，对于D，假设矛盾所以向量不共面，则可以作为空间中的一组基底,故D正确.故选：BD.12．已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（　　）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则的横坐标为D．若点，则周长的最小值为【答案】ABC【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN方程联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而判断选项D即可．【详解】解：由题意得点在抛物线上，所以，解得，所以C：，则，对于A选项，设直线：，与联立得，设，，所以，，所以，当直线的斜率为时，，，故A项正确；对于B选项，由抛物线的定义， ，所以，当且仅当，时等号成立，故B项正确；对于C选项，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，又因为为的中点，所以点的纵坐标为，又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故C项正确；对于D选项，过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，故D项错误．故选:ABC． 三、填空题13．数列的前项和，则该数列的通项公式为______.【答案】【分析】由可求得数列的通项公式.【详解】当时，；当时，.不满足.所以，.故答案为：.14．过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.【答案】【分析】由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程.【详解】由双曲线方程知：其左顶点为，根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2，所以所求直线为，则.故答案为：15．写出一条与圆相切的直线l的方程：________________________．【答案】（答案不唯一）【分析】由直线与圆的位置关系求解，【详解】由题意得直线与圆相切，故答案为：（答案不唯一）16．正四棱锥，底面四边形为边长为2的正方形，，其内切球为球G，平面过与棱，分别交于点M，N，且与平面所成二面角为30°，则平面截球G所得的图形的面积为___________.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用等体积法求出内切球的半径，即可得到球心坐标，设平面的法向量为，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，即可求出参数，从而可求球心到平面的距离，从而求出截面面积；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，因为，，所以，所以，，则内切球的球心在上，设，内切球的半径为，，由等体积法可得，解得，则，因为平面过，设平面的法向量为，面的法向量为，设面与面所成二面角为，则，即，解得或（舍去），所以，则圆心到平面的距离，所以截球所得图形的面积为；故答案为： 四、解答题17．已知.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；【详解】（1），若，则，即，解得；（2），若，则，即，化简可得，解得或.18．记为等差数列的前项和，已知.(1)求公差及数列的通项公式；(2)求，并求的最小值及取得最小值时的值.【答案】(1)，(2)，的最小值为，此时或5 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求得的值，从而可得数列的通项公式；（2）求得等差数列的前项和，根据二次函数的性质及为正整数，即可求得的最小值及取得最小值时的值.【详解】（1）在等差数列中，因为，所以，则，所以；（2）∵，又为正整数∴或5时，的最小值为.19．已知直线和圆心为C的圆.(1)判断直线与圆的位置关系；(2)如果相交，求直线被圆所截得的弦长.【答案】(1)直线l与圆C相交，有两个公共点；(2). 【分析】（1）代数法：联立方程，根据得到方程解的个数判断位置关系.几何法：由已知得出圆心、半径，根据圆心到直线的距离与半径的关系，即可判断；（2）代数法：根据（1）求出的方程，解出点的坐标，根据两点间的距离公式，即可求出弦长.几何法：根据垂径定理，即可求出答案.【详解】（1）解法1:代数方法联立直线l与圆C的方程，消去，得，所以.所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.解法2:几何法将圆C方程化成标准方程，因此圆心C的坐标为，半径为2，圆心C到直线的距离.所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.（2）解法1:代数方法设，.由（1）可知，不妨设，则，，，所以，，.因此.解法2:几何法由（1）可知直线l与圆C有两个交点，且圆的半径，圆心C到直线的距离，由垂径定理，得.20．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列{}的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为（），根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；【详解】（1）设数列的公差为d，由，且，，成等比数列得，得，解得（舍去）或，所以.（2）由（1）可得，所以.故.21．如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.(1)求证：平面.(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)或2 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；（2）设，且，则,0,，由直线与直线所成角的余弦值，利用向量法能求出线段的长．【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，设平面的法向量,,，则，取，得,0,，，平面，平面．（2）设，且，则,0,，,,，,2,，则，整理得解得或，所以线段AH的长为或2．22．设椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，直线与椭圆相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线过，与椭圆交于两点，延长，分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据与椭圆相切可得，由通径长可求得，由此可得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用表示出，从而得到点坐标；同理可求得点坐标，利用两点连线斜率公式可表示出，化简整理可得，由此可得定值.【详解】（1）与椭圆相切，，将代入椭圆方程得：，，则，椭圆的标准方程为：.（2）由（1）得：，，则直线，设，，，，则直线的方程为：，由得：，，则，，；同理可得：；，，即为定值.