2022-2023学年四川省凉山彝族自治州高二上学期期末检测数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省凉山彝族自治州高二上学期期末检测数学（文）试题

一、单选题

1．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（    ）

A．x>0，使得x2－x+1≤0 B．x>0，使得x2－x+1>0

C．x>0，都有x2－x+1>0 D．x≤0，都有x2－x+1>0

【答案】B

【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.

故选：B

2．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案.

【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除；

C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点，

所以C中直线不符合，D中直线符合要求.

故选：D

3．设直线，，若，则（    ）

A．0 B．0或 C．1 D．

【答案】A

【分析】由，根据两直线的位置关系，列出方程，即可求解.

【详解】由直线，，

因为，可得，解得.

故选：A.

4．某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是07，那么第四位的编号是（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

【答案】C

【分析】根据题意求得组距为，进而求得第四位的编号，得到答案.

【详解】由题意，从40位同学，用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，可得组距为，

因为排在第一位的编号是07，则第四位的编号是.

故选：C.

5．已知命题：在中，若，则；命题：，是非零向量，若，则.在下列四个命题中，是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理边角关系、向量垂直判定判断、，进而确定各复合命题的真假.

【详解】在中，则，由大边对大角知：，故为真命题；

，是非零向量，若，则，故为真命题；

所以为假命题，则为真，、、为假.

故选：A

6．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.

【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.

故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.

故选：D.

7．在诗词大赛活动中，甲乙两位选手经历了9场初赛后进入决赛，两人的9场初赛成绩如茎叶图所示.下列结论正确的是（    ）

A．甲成绩的极差比乙成绩的极差小 B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大

C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小

【答案】B

【分析】根据茎叶图分析甲乙极差、众数、中位数、平均数、方差，比较它们的大小判断各项正误.

【详解】由茎叶图知：甲成绩，乙成绩，

甲极差为，乙极差为，故甲极差大，A错误；

甲众数为，乙中位数为，故甲众数大，B正确；

甲平均数为，乙平均数为，故甲平均数大，D错误；

甲方差为，乙方差为，故乙的方差大，C错误.

故选：B

8．是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.

【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，

如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.

故选：C

9．已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.

【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，

由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数

即为圆与圆的公切线条数，

因为，所以两圆外离，

所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.

故选：D

【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.

10．若圆的弦被点平分，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】若圆心，根据题设知求出直线的斜率，应用点斜式写出直线方程即可.

【详解】由题设，直线过，若圆心，则，即，

由，则，故直线方程为，

所以直线的一般方程为.

故选：A

11．执行如图所示的算法框图，若输出的结果是，则可以是（    ）

A．90 B．100 C．101 D．102

【答案】B

【分析】根据框图知，程序实现当时，求的功能，由裂项相消求和即可求解.

【详解】根据框图可知，，

即，

即，

故选：B

12．已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不妨设在第四象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．

【详解】，不妨设在第四象限，与渐近线垂直，的斜率为，

所以直线方程为，

由，得，

设，由知：，即，

所以，，在双曲线上，

所以，化简得，则，

所以，故渐近线方程是．

故选：C

二、填空题

13．圆关于直线对称的圆的标准方程为___________.

【答案】

【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即为对称圆圆心，又因为关于直线对称的圆半径不变，从而求出对称圆的方程.

【详解】圆，即，

表示以为圆心，半径为1的圆，

设圆心关于直线对称点的坐标为，

由，

解得，，

故圆心关于直线对称点的坐标为，

故对称圆的圆心为，

因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为1，

故所求对称圆方程为.

故答案为：.

14．过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.

【答案】

【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.

【详解】设，直线

与抛物线联立得，即；

，

因为，所以，

所以，代入可得

即，，

所以

故答案为：

三、双空题

15．某地区为调查7至18岁孩子的入学情况，统计出该地区近四年每年小学毕业的总人数（单位：万）和入读初中的总人数（单位：万）之间的数据如下：

若关于，用最小二乘法建立的回归方程为，则___________；若2023年小学毕业人数达到4.5万人，预计该年入读初中的人数为___________万人.

【答案】     0.96##     3.94##

【分析】先求取值的平均数，根据回归直线一定经过样本中心点可求，根据方程代入可得入读初中的人数.

【详解】，；

因为回归方程为，所以，解得；

若2023年小学毕业人数达到4.5万人，则.

故答案为：；.

四、填空题

16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设和的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据向量的减法运算得出，从而得出，利用椭圆、双曲线的定义以及离心率的公式，求得与的关系式，根据，从而求出的取值范围.

【详解】设椭圆：，双曲线：，

，为与的公共焦点，则，，

由得，所以，即，

所以，得，

为两曲线的一个公共点，设，，

则，①  ，②  ，③

②2+③2得，代入①得，，

所以，所以，④，

又因为，，则，，

所以④化为，即，

因为，所以，所以，

又因为，

所以，即，

所以，得，所以的取值范围,

故答案为：

五、解答题

17．已知集合，.

(1)若，求的取值范围；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可；

（2）由题意是的真子集，列不等式组求参数范围.

【详解】（1）因，即，令得：或，

所以或，即的取值范围为.

（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，

而，不为空集，

则（等号不同时成立），解得：，即的取值范围是.

18．已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.

(1)求圆的方程；

(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；

（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.

【详解】（1）设圆心为，半径为,

则由题意得，故该圆的方程为.

（2）圆心到直线的距离为，

由垂径定理得：，解得.

19．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图.

(1)求图中的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.（以每组中点作为该组数据的代表）

【答案】(1)，中位数为82.5

(2)，有520名学生获奖

【分析】（1）根据频率和为1可求，利用频率为0.5时对应的横坐标可得中位数；

（2）利用区间中点值估计平均数，结合得分不低于平均数的频率可得获奖人数.

【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得，

设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，

从而可得，由得：，

所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.

（2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，，

此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，

则，

所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.

20．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；

（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.

【详解】（1）由已知，，

又，则，

所以双曲线方程为.

（2）由，得，

则，

设，，则，，

所以.

21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程；

（2）设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值.

【详解】（1）由题意得：且，得，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：由椭圆方程可知，，，

设，则且；

则，，则，

所以为定值.

22．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.

(1)求抛物线的方程；

(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.

【答案】(1)

(2)最大值为5

【分析】（1）根据抛物线的定义和可求方程；

（2）联立方程，根据相切可求切线方程，进而得到的方程，利用点到直线的距离公式可求答案.

【详解】（1）抛物线的准线方程为：，

由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.

（2）记，，则可设直线，

由消去并整理得，

则由题意得，

又得，

所以直线的方程为，同理，直线的方程为，

若设，则，

所以直线的方程为，即，

所以点到直线的距离，即，

当，即时，；

当时，因为则

即，所以且；

综上，.

所以点到直线的距离的最大值为5.