安徽省“江南十校”2023届高三下学期数学一模试卷【含答案】

这是一份安徽省“江南十校”2023届高三下学期数学一模试卷【含答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 一模试卷一、单选题1．已知集合，则（　　）A． B．C． D．2．已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量的夹角为，且，则（　　）A． B． C． D．4．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（　　）A． B． C． D．5．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（　　）种．A．40 B．24 C．20 D．126．已知函数，则下列说法正确的是（　　）A．点是曲线的对称中心B．点是曲线的对称中心C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的对称轴7．在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（　　）A． B． C． D．8．已知，则的大小关系为（　　）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（　　）A．是奇函数B．的单调递增区间为和C．的最大值为D．的极值点为10．在平行六面体中，已知，，则（　　）A．直线与所成的角为B．线段的长度为C．直线与所成的角为D．直线与平面所成角的正弦值为11．已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（　　）A．的准线方程为B．点为线段的中点C．直线与相切D．在点处的切线与直线平行12．已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（　　）A．B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于直线对称D．三、填空题13．的展开式中，常数项为　     　（用数字作答）.14．已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为　     　.15．已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是　     　.16．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是　          　.四、解答题17．在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）求的值；（2）记的内角的对边分别为.请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①若，且，求周长的最大值.②若，且，求的面积.18．已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.19．渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.（1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20．如图，四棱锥中，为等腰三角形，，.（1）证明：；（2）若，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.21．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.（1）求双曲线的方程；（2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.22．已知函数.（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；（2）当时，证明：.
 1．C2．D3．C4．A5．B6．C7．B8．D9．A,B10．A,C11．B,C,D12．A,B,C13．6014．15．16．17．（1）解：因为是锐角，所以在第一象限，又因为在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，所以，所以，故.（2）解：选①：由（1）中结论可得，又，由余弦定理可得，即.，，当时，等号成立，，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为6.选②：由（1）可知，则，由正弦定理，可得，故，则.18．（1）解：函数的零点为3，8，而数列递增，则，，因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，当时，，而也满足上式，所以数列的通项公式是.（2）证明：由（1）得，因此，而，所以.19．（1）解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件，则由题意可知：，..（2）解：依题意可知，的所有可能取值为，，，，则的分布列为0123数学期望.20．（1）证明：取的中点，连接，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形为平行四边形，又，则，又平面，所以平面，又，因此平面，而平面，所以.（2）解：因为，且平面，则平面，又，则平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，又，则，所以，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，又平面的一个法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21．（1）解：由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）解：（i）设，直线的方程为，由，消元得.则，且，；或由韦达定理可得，即，，即与的比值为定值.（ii）设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在上单调递减，故，故的取值范围为.另解：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），所以.同理，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），所以.由（i）中结论可知，得，所以，故.22．（1）解：由题意得的定义域为.若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.综上所述：在定义域上单调递增，且.（2）证明：方法一：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，原不等式即证，由（1）知在上单调递增，，又，则，原不等式成立.方法二：要证成立，只需证，只需证，只需证，令，则.在上单调递增，，原不等式成立.