河南省2023年高三下学期理数学业质量联合检测试卷【含答案】

这是一份河南省2023年高三下学期理数学业质量联合检测试卷【含答案】，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期理数学业质量联合检测试卷一、单选题1．已知全集，集合，，则（　　）A． B． C． D．2．设复数满足.若，则实数（　　）A．2或 B．或C．或 D．1或3．记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（　　）A．17 B．19 C．21 D．234．已知向量的夹角为，且是函数的两个零点.若，则（　　）A．3 B．4 C．5 D．65．盒子中装有10个大小相同的球，其中有6个红球，4个黑球.随机取出4个球，则至少有1个黑球的概率为（　　）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（　　）A． B． C． D．7．已知表示不超过实数的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的（　　）A． B． C． D．8．已知函数.若，且在区间上单调，则（　　）A． B．或4 C．4 D．或9．已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：①；②点到平面的距离为；③二面角的余弦值为；④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.其中所有正确结论的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（　　）A． B． C． D．11．已知双曲线的左､右焦点分别为，左顶点为为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为（　　）A． B． C． D．12．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若的图象关于点中心对称，为偶函数，且，则（　　）A．670 B．672 C．674 D．676二、填空题13．已知圆.若圆心到直线的距离为1，则直线的方程为　                                 　.（写一个即可）.14．已知函数的导函数为，且，则曲线在点处的切线方程为　         　.15．记正项数列的前项和为，且满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是　          　.16．某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中，，直角三角板与始终全等（假设直角三角板与的另两边的大小可变化）.现将直角三角板与放在平面内拼接，直角三角板的直角边也放在平面内，并使与重合，将直角三角板绕着旋转，使点在平面内的射影始终与点重合于点，如图②，则当四棱锥的体积最大时，直角三角板的内角的余弦值为　     　.三、解答题17．记的内角的对边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求的面积.18．某学校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣，提高了学生学习的积极性，特别是对实验操作的研究与探究.现有某化学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了某项化学实验操作，为了解实验效度与实验中原料的消耗量（单位：）的关系，该校实验员随机选取了10个小组的实验数据如下表.小组编号12345678910总计实验效度6原料的消耗量15并计算得.附：相关系数（1）求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的平均值；（2）求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的相关系数（精确到）；（3）经该校实验员统计，以往一个学年各种实验中需用到原料的实验有200次左右.假设在一定的范围内，每次实验中原料的消耗量与实验效度近似成正比，其比例系数可近似为样本中相应的平均值的比值.根据要求，实验效度平均值需达到.请根据上述数据信息，估计该校本学年原料的消耗量.19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为等边三角形，分别为棱的中点.（1）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（2）若，当二面角为时，证明：直线与平面所成角的正弦值小于.20．已知椭圆的左焦点为，点在上，的最大值为，且当垂直于长轴时，.（1）求的方程；（2）已知点为坐标原点，与平行的直线交于两点，且直线，分别与轴的正半轴交于两点，试探究是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.21．已知函数.（1）证明：恰有一个零点；（2）设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上有且只有一个点到直线的距离为，求实数的值.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若函数的图象恒在图象的上方，证明：.
 1．C2．B3．A4．A5．C6．D7．C8．B9．B10．C11．A12．D13．（答案不唯一，符合题意即可）14．15．16．17．（1）证明：由，得，即，所以由正弦定理及余弦定理，得，化简得.（2）解：由余弦定理，得，所以，即①.又由①知②联立①②，得，所以，即的面积为.18．（1）解：由题意得这10个小组的实验效度的平均值为，这10个小组实验中原料的消耗量的平均值为.（2）解：相关系数.（3）解：设该校本学年原料的消耗量为，则由题可知，所以估计该校本学年原料的消耗量为.19．（1）解：当点为的中点时，平面，此时如图，取的中点，连接.因为为的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）证明：如图，连接.由条件可知.又，所以.因为为等边三角形，为的中点，所以.故为二面角的平面角，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.在平面内，过点作，交于点，则平面，所以两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，所以.设平面的法向量为，则，解得，令，得，则平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值小于.20．（1）解：的最大值为，当垂直于长轴时，将代入椭圆可得，则，所以，解得所以的方程为（2）解：为定值.由题可知直线的斜率为，且直线，分别与轴的正半轴交于两点，故设直线的方程为.联立得，则，解得，则，所以，直线的方程为，令，得，即，所以，同理可得.故，所以为定值2.21．（1）证明：令，得.又，所以.令，则，所以在区间上单调递增.又，所以存在唯一的，使得，即在区间内恰有一个零点，故函数恰有一个零点.（2）解：由题意知，所以.因为函数至少存在两个极值点，所以方程至少有两个不等实根.令，则.令，则，所以函数在区间上单调递减.又，所以当时，，即0，此时单调递增；当时，，即，此时单调递减，且当时，；当时，；当时，.要使在区间内至少有两个不等实根，则函数的图象与直线在区间上至少有两个交点.作出函数的图象，如图所示，则，解得.此时，在区间和区间内各有一个零点，分别设为，则当或时，；当时，，故为的极小值点， 为的极大值点，符合题意.故实数的取值范围是.22．（1）解：由（为参数，）消去，得，所以直线的普通方程为.由，得.将代入，得，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）解：由（1）知曲线是圆，其圆心为点，半径为1，所以圆心到直线的距离为，所以，则，所以或，解得或.故实数的值为或.23．（1）解：当时，，所以当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为或.（2）证明：当时，，所以当时，取得最大值，且.要使函数的图象恒在图象的上方，由数形结合可知，必须满足，即，原不等式得证.