黑龙江省大庆市2023届高三数学一模试卷【含答案】

 高三数学一模试卷

一、单选题

1．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数，则的虚部为（　　）

A．1 B． C．2 D．0

3．已知，，若，则（　　）

A．-3 B．4 C．3 D．

4．我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示．

根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知，，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知不重合的直线，，和不重合的平面，，下列说法中正确的是（　　）

A．若，，，则

B．若，，，，则

C．若，，则

D．若，，，，则

7．设x，，则“”是“x，y中至少有一个大于1”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（　　）

A． B． C． D．

9．函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　）

A． B．

C． D．

10．在三棱锥中，平面ABC，且，，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

11．已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（　　）

A．-3 B．-1 C．0 D．2

12．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．函数的图象在点处的切线方程为　         　．

14．已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是　                                                      　．

15．一个口袋里有大小相同的白球个，黑球个，现从中随机一次性取出个球，若取出的两个球都是白球的概率为，则黑球的个数为　     　．

16．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是，则　     　，展开式的常数项为　     　．（用数字作答）

三、解答题

17．设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求角A；

（2）若，D为BC边的中点，，求a的值.

19．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.

（1）证明：∥平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

20．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.

（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；

（3）若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.

21．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.

22．已知函数的两个不同极值点分别为，（）.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：（为自然对数的底数）.

1．A

2．C

3．B

4．C

5．B

6．D

7．A

8．D

9．C

10．B

11．A

12．A

13．

14．或或（注意：只需从中写一个作答即可）

15．5

16．9；-672

17．（1）解：设的公差为，因为，是，的等比中项，

所以，所以.

因为，所以，故.

（2）解：因为，

所以.

18．（1）解：由题意得，

所以，

所以.因为，所以.

因为，所以.

（2）解：由，可得.

因为，，，所以，解得.

因为，所以.

19．（1）证明：取的中点，连接，，

∵，分别是，的中点，

∴∥，

∵底面是矩形，是的中点，

∴∥∥，

∴四边形是平行四边形，

∴∥，

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

设平面的法向量为，

则，

令，得.

取平面的一个法向量.

设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，

则

故平面与平面夹角的余弦值为.

20．（1）解：种子密度的平均值为：（）

（2）解：由频率分布直方图知优种占比为，

任选一粒种子萌发的概率，

因为为这批种子总数远大于2，所以，

，，

，

所以布列为：

期望.

（3）解：因为该品种种子的密度，

所以，，即，

所以20000粒种子中约有优种（粒）

即估计其中优种的数目为16827粒.

21．（1）解：设双曲线的标准方程为，

焦点为，，

因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以.

因为焦点到渐近线的距离为2，所以，从而，

故双曲线的标准方程为

（2）证明：设，.

①当直线的斜率存在时，设的方程为，

联立方程组

化简得，

则，即，

且

因为，

所以，

化简得

所以或，且均满足.

当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，直线的方程为，过定点

②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，

联立方程组，得

得，，此时直线过定点

因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为该圆的半径，故存在定点，使得为定值

22．（1）解：因为有两个不同极值点，，

所以有两个不同的根，，

令，则.

令，得；令得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

因为当时，，所以.

（2）证明：由（1）可知，且，是方程的两个根，

即，所以，

所以，所以.

令，则，

要证，即证，即证，即证.

令，则，

所以在上单调递增.

因为，所以，所以成立，故成立.