山东省菏泽市2023届高三下学期数学一模联考试卷【含答案】

 高三下学期数学一模联考试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C．或 D．或

2．设i是虚数单位，复数，则（　　）

A． B． C． D．

3．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（　　）（，）

A．40 B．41 C．42 D．43

4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（　　）

A． B． C．1 D．16

6．为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（　　）

A．9种 B．11种 C．15种 D．30种

7．设实数满足，，，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

8．定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（　　） 

A．频率分布直方图中 的值为0.04

B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C．这100名学生体重的众数约为52.5

D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

10．已知圆，下列说法正确有（　　）

A．对于，直线与圆都有两个公共点

B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是

C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4

D．圆上存在三点到直线距离均为1

11．已知函数，下列命题正确的有（　　）

A．在区间上有3个零点

B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度

C．的周期为，最大值为1

D．的值域为

12．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（　　）

A．当点为线段的中点时，直线的斜率为

B．若，则

C．

D．若直线的斜率为，且，则

三、填空题

13．已知夹角为的非零向量满足，，则　     　.

14．定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则　     　.

15．设均为非零实数，且满足，则　     　.

16．正三棱锥的高为为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为，则　     　.

四、解答题

17．如图，在平面四边形中，，.

（1）试用表示的长；

（2）求的最大值.

18．为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后会有的可能性种植的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.

（1）在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；

（2）在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.

19．如图，直四棱柱中，，与交于为棱上一点，且，点到平面的距离为.

（1）判断是否在平面内，并说明理由；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

20．已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.

（1）求；

（2）设为数列的前项和，证明：.

21．已知函数.

（1）若函数在R上单调递增，求的取值范围；

（2）若，且有两个零点，证明：.

22．如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.

1．D

2．B

3．C

4．D

5．A

6．C

7．A

8．C

9．A,C,D

10．B,C

11．B,C

12．B,C,D

13．2

14．1

15．1

16．

17．（1）解：（），，，

，则

在中，

，

，则

（2）解：在中，

，

则当时，取到最大值.

故的最大值是

18．（1）解：设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3.

在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为：

（2）解：由已知条件，在第1次种植的前提下：，，，

，，，

因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，-

，

，

所以的分布列为：

.

19．（1）解：以为坐标原点，过作与垂直的直线为轴，所在的直线分别为轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为，则，

，，，，

设平面的一个法向量为，

则即取.-

所以点到平面的距离为，令解得.

设平面的一个法向量为，由，，

则即，取，

而，所以，

又与，共面，故直线不在平面内.

（2）解：依（1）知平面的一个法向量为，

易知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则，

故二面角的余弦值.

20．（1）解：由题意得，，得①

由，得②

由①②，可得且，则，

由，当在范围内取值时的所有取值为：

所以.

（2）证明：

所以

由于是递减的，所以

21．（1）解：函数在R上单调递增，因此，即，

记，则，

令得：，令得：，

故在上单调递增，在单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，，

因此

（2）证明：不妨设，由，，

即为方程的两根，

由，故，解得：，所以，

记（），则，令得，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

在处的切线方程为，记（），则单调递减，

则，

其中在上单调递增，且，

即，

设在的切线方程过点，

则在的切线斜率为，

所以，解得：，

取，则在的切线方程过点，且斜率为，

切线方程为，即，记（），

则单调递增；

又，

其中令，，故，

令得：，令得：，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

故，故，

记与和的交点横坐标分别为，则

，故，由，单调递减，所以，

，故，由，单调递增，所以，

由于，

所以.

22．（1）解：，，，故椭圆的方程为；

（2）解：依题意设直线的方程为，，

联立方程组，消元得：，

，，

由得：，两边同除，，

即；将代入上式得：

整理得：所以或（舍），

当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.