四川省成都市2023届高三下学期理数二模试卷【含答案】

 高三下学期理数二模试卷

一、单选题

1．设全集，集合，则（　　）

A． B． C． D．

2．函数的最小正周期为（　　）

A． B． C． D．

3．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（　　）

A．40 B．41 C．119 D．122

4．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）

A．0 B． C． D．2

5．设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

6．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（　　）

A． B． C． D．

8．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（　　）

A．32 B． C． D．8

9．若奇函数满足，且当时，，则（　　）

A．-1 B． C．0 D．

10．若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（　　）

A． B． C． D．3

11．已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

12．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．复数（为虚数单位），则|z|的值为　     　．

14．已知 ，则 　     　．

15．若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为　     　．

16．若函数存在极大值点，且，则实数的取值范围为　         　．

三、解答题

17．某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班），据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：

附：．

（1）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

（2）根据（1）列联表中所填数据，判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．

18．已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

19．如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．

21．已知函数，其中，．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围．

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A，B两点，求的值．

23．已知函数．

（1）画出的图象；

（2）求不等式的解集．

1．C

2．C

3．B

4．C

5．A

6．B

7．D

8．A

9．B

10．D

11．A

12．D

13．

14．

15．

16．

17．（1）解：由题意，列联表如下：

（2）解：假设：“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关.

∵，

∴根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．

18．（1）解：设数列的公比为．

∵，，成等差数列，

∴．

∴

∵，∴解得．∴；

（2）解：设，则．

∴①

∴②

由①－②得，

∴

∴．

19．（1）证明：取的中点O，连接AO，．

∵与均是边长为2的正三角形，

∴，，．

∴为二面角的平面角．

∵，

∴．

∴，又，， 平面，

平面，又平面，

∴平面平面.

（2）解：由（1）知，，，．

以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．

则，，，．

，，．

设平面的一个法向量为．

由得

令，得．

设平面的一个法向量为．

由得

令，得．

∴．

∴所求锐二面角的余弦值为．

20．（1）解：由题意，双曲线的焦点为，，

双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，

又，，．

，．

．

椭圆C的方程为．

（2）解：设，，则．

四边形OAED为平行四边形，

，．

点A，B，E均在椭圆C上，

，，．

，

．

．

由消去y，得．

显然．

，．

．

，

因为，所以，即，

所以，即.

．

21．（1）解：，

∵，，

∴当时，恒成立，函数在上单调递增．

当时，

当时，；当时，．

函数在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）解：函数恰有两个零点，

等价于方程有两个不等的实数解．

∵，，，

令，则．

令，则．

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

∵，

∴方程有唯一解．

∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．

等价于方程有两个不相等的实数解．

构造函数，则．

∵，

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

∵，；，．

∴只需要，即．

构造函数，则．

∴当时，；当时，．

函数在上单调递减，在上单调递增．

∵，

当时，恒成立．

∴a的取值范围为．

22．（1）解：依题意，

∵曲线的参数方程为（为参数），

∴曲线的普通方程为．

∵直线的极坐标方程为，

∴．

∵，．

∴直线的直角坐标方程为．

（2）解：由（1）知，点在直线上，

∴直线的参数方程为（为参数），

代入得，．

设，是上述方程的两根，

∴，，．

∴．

23．（1）解：由题得，．

函数的图象为：

（2）解：函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如图所示．

当时，由解得，．由图象可知不等式的解集为．