浙江省2023届高三下学期数学一模试卷【含答案】

 高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．若集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．若，则（　　）

A． B． C． D．

3．的展开式中常数项为（　　）

A．280 B．-280 C．160 D．-160

4．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（　　）个刻度

A．3 B．4 C．5 D．6

5．班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题，80%的可能答对问题，50%的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（　　）

A．问题 B．问题

C．问题和都可以 D．问题

6．在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（　　）

A． B． C． D．

7．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

8．在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在平面直角坐标系中，已知点，则（　　）

A．

B．是直角三角形

C．在方向上的投影向量的坐标为

D．与垂直的单位向量的坐标为或

10．已知函数，则（　　）

A．有一个零点

B．在上单调递减

C．有两个极值点

D．若，则

11．设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（　　）

A．的最大值为

B．直线的斜率乘积为定值

C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或

D．直线过定点

12．已知，且，则（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．已知随机变量服从正态分布，若，则　     　．

14．写出一个满足下列条件的正弦型函数，　                            　．

①最小正周期为；②在上单调递增；③成立．

15．将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为　     　．

16．已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为　        　．

四、解答题

17．已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．

18．已知中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．

（1）证明：；

（2）求的面积．

19．如图，四面体中，，，与面的所成角为．

（1）若四面体的体积为，求的长；

（2）设点在面中，，，过作的平行线，分别交于点，求面与面所成夹角的余弦值．

20．大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：

并计算得，，．

附：相关系数，，，．

（1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；

（2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．

21．设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为．连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值．

22．已知

（1）当时，求单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）设，，证明：．

1．A

2．B

3．A

4．B

5．D

6．C

7．D

8．C

9．A,B,D

10．B,D

11．B,C,D

12．B,C

13．1

14．（答案不唯一）

15．

16．

17．（1）解：因为，所以，

所以.

所以.

则数列的通项公式为.

（2）解：因为数列是以首项为，公比为4等比数列.

所以.

因为数列是等差数列，所以.

化简得.

因为，所以，即.

所以.

因为，所以数列是以为首项.4为公比的等比数列

所以.

所以.

则数列的前n项和为：.

18．（1）证明：因为，所以，即，则，

因为，

，， ， ，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以

令，则，

因为，所以在上单调递减，

所以由得，即成立

（2）解：因为，所以

所以

由正弦定理得，且，所以

因为

所以由得

化简得

因为，所以

所以由得或（舍去），

，

所以.

19．（1）解：，，，，

又，平面，平面；

作，连接，

平面，平面，，

，平面，平面，

平面，平面面，

平面平面，则作，可得平面，

为与平面的所成角，，

设，，则，，，，

则由得：，

，解得：，即.

（2）解：设，由（1）得：，

延长交于点，连接，

，，，平面，平面，

平面，，又，，

，，，，

为边上的高，即，；

，，平面，平面，

又平面，；

由（1）得，若，则点在上，为的垂心；

∽，，

又，，，，即；

方法一：，为中点，为中点，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

平面，平面的一个法向量为，

，即平面与平面所成夹角的余弦值为.

方法二：，，即；

分别作，，则平面，平面，

在平面的投影为，，

设平面与平面所成的二面角为，则.

20．（1）解：水库的平均水位，

号渗压计管内平均水位.

（2）解：，

同理可得：，

，

（3）解：，，

号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，

当时，预测值，

即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.

21．（1）解：双曲线的右焦点为，；

右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，双曲线的渐近线方程为，

，解得：，，

双曲线的方程为：.

（2）解：设，切线，

由得：，

，解得：，

，

，，，，即，

同理可得：直线；

直线与直线交于点，，，

点满足方程，即直线，

同理可得：直线，即，

点在直线上，，即点在直线上，

，，，，

，即，

直线，

由得：，

，

点到直线的距离为，，

令，，，则，

，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，.

22．（1）解：当时，，，

，，（当且仅当时取等号），

恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）解：当时，恒成立，即，恒成立；

方法一：，，使得在上单调递增，

当时，，，解得：；

当时，，

，，

设，则，

在上单调递增，，

，即满足题意；

综上所述：的取值范围为.

方法二：，

，，，

则由，恒成立得：；

，，

令，则，令，则，

①当，即时，方程的解为，

设，的对称轴为，当时，，

，其中，

则当，即时，；当时，即时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，当时，，与，恒成立相矛盾，故舍去；

②当，即时，，即，

在上单调递增，，

即，恒成立；

综上所述：实数的取值范围为.

（3）证明：由（2）得：，；

令，，即，，

当时，，

化简得，，

，，，

累加得：，

，

即成立.