2023年内蒙古包头市三校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年内蒙古包头市三校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数：，，，每相邻两个之间的个数依次多，，，其中无理数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截止年月底，我国的外汇储备约为亿元，将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为了了解某市参加中考的名学生的视力情况，抽查了名学生的视力进行统计分析，下面四个判断正确的是(    )

A. 名学生的视力是总体的一个样本 B. 名学生是总体
C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是名

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

6.  如图，是的直径，、是圆上的点，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  方程有两个实数根，则的取值范围为(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

8.  如图，已知▱的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  体育测试中，小进和小俊进行米跑测试，小进的速度是小俊的倍，小进比小俊少用了秒，设小俊的速度是米秒，则所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  下列命题中，逆命题为真命题的有(    )
若，则；
若，则；
垂直于弦的直径平分这条弦；
对角线互相垂直的四边形是菱形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11.  如图，中，，，垂足分别为、，连接，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知二次函数的图象与轴交于点，，且，与轴的正半轴的交点在的下方，下列结论正确的是(    )



．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

13.  计算：        ．

14.  分解因式：______．

15.  化简：的结果是        ．

16.  关于的不等式组只有个整数解，求的取值范围        ．

17.  如图，在中，，以点为圆心，为半径的与相切于点，交于点，交于点，点是上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______．

18.  如图，矩形的顶点、在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，交于点若，，，则的值为        ．

19.  如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为          ．
 

三、解答题（本大题共6小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

这次活动共抽查了______人．
将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
张老师在班上随机抽取了名学生，其中学习效果“优秀”的人，“良好”的人，“一般”的人，若再从这人中随机抽取人，请用画树状图法，求出抽取的人学习效果全是“良好”的概率．

21.  本小题分
新冠病毒传播迅速，无人机在防疫工作上表现出色，零接触运送物资，如图，无人机在离地面米的处，测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和教学楼间的水平距离为米，则教学楼的高度为多少米？点、、、都在同一平面内，结果保留根号

22.  本小题分
为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用元与使用面积间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米元．
求与间的函数解析式；
若校园文化墙总面积共，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为元，请直接写出与间的函数解析式；
在的前提下，若甲种石材使用面积多于，且不超过乙种石材面积的倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？

23.  本小题分
如图，为的弦，直径于点，点为上一点，．
求证：．
求．

24.  本小题分
问题：如图，在四边形中，点为上一点，，求证：；
探究：如图，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
应用：请利用获得的经验解决问题：
如图，在中，，，点以每秒个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为秒，当时，求的值．
 

25.  本小题分
如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点其顶点为．

 

抛物线及直线的函数关系式；

设点，求使的值最小时的值；

若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，每相邻两个之间的个数依次多，这个数是无理数，
故选：．
运用无理数的概念进行求解．
此题考查了无理数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．
【解答】
解：将亿用科学记数法表示为，
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：根据题意
名学生的视力情况是总体，
名学生的视力是样本，
是样本容量，
每个学生的视力是总体的一个个体．
故选：．
总体：所要考察对象的全体；个体：总体的每一个考察对象叫个体；样本：抽取的部分个体叫做一个样本；样本容量：样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量．理清概念是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
；
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意，
故选：．
运用单项式加法、乘法、除法法则进行逐一计算、辨别．，
此题考查了单项式加法、乘法、除法的运算能力，关键是能运用以上运算法则进行正确地计算，特别是符号、指数的准确确定．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
是直径，
，
，
故选：．
根据圆周角定理可得，，然后再利用三角形内角和计算即可．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程有两个实数根，
，
解得且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：▱的顶点，，
，，
中，，
由题可得，平分，
，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
依据勾股定理即可得到中，，依据，即可得到，进而得出，可得．
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
 

9.【答案】 

【解析】解：小进跑米用的时间为秒，小俊跑米用的时间为秒，
小进比小俊少用了秒，
方程是，
故选：．
先分别表示出小进和小俊跑米的时间，再根据小进比小俊少用了秒列出方程即可．
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，则，此命题为真命题；它的逆命题为若，则，此逆命题为真命题；
若，则，此命题为真命题；它的逆命题为若，则，此逆命题为假命题；
垂直于弦的直径平分弦，此命题为真命题；它的逆命题为平分弦的直径垂直于弦，此逆命题为假命题；
对角线互相垂直的四边形是菱形，此逆命题为假命题，它的逆命题为菱形的对角线互相垂直，此逆命题为真命题．
故选：．
先根据绝对值、不等式的性质、垂径定理和菱形的判定对四个命题进行判断，再分别交换命题的题设和结论得到四个逆命题，然后判断逆命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，，
∽，
，
又，
∽，
，
设，则，
根据勾股定理得到，
因而．
故选：．
本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
本题考查了解直角三角形，能证出∽是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过点，
，正确；
二次函数的图象与轴交于点，，且，
抛物线的对称轴．
抛物线图象与轴的两交点分别在原点两侧，与轴的交点在轴正半轴，
抛物线开口向下，即，
，
，即正确；
令，
则方程的两个解为：，，
，即，
又，
，
，即正确；
抛物线图象与轴的正半轴的交点在的下方
，
当时，，即：，
，
，即D正确．
故选D．
由函数图象过点，将点代入到抛物线解析式即可得知正确；结合函数图象与轴的交点横坐标可以得知抛物线对称轴，再由抛物线与轴的交点在轴正半轴得知，解不等式即可得知正确；令，由根与系数的关系即可得出关于的不等式，解不等式得出与之间的关系，将其代入即可得知正确；由抛物线与轴交点坐标的范围可找出的范围，结合抛物线的图象过点，将换成即可得知正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系以及解不等式，解题的关键是依据二次函数图象与系数的关系逐条分析条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练利用二次函数图象与系数的关系解决问题是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先算零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
先化除法为乘法、约分化简分式；然后计算分式减法．
本题主要考查分式的混合运算，把分式化到最简是解答的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
解得，，
解得，，
不等式组的解集为：，
不等式组只有个整数解，
，
解得，，
故答案为．
根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是一元一次不等式组的解法和整数解的确定，正确解出不等式组、根据题意列出不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
与相切于点，
．
，
．
．
故答案是：．
图中阴影部分的面积由圆周角定理推知．
本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
设、，
则，点坐标为，
，
，
，
点，
反比例函数经过点、，
，
解得：或舍，
则，
故答案为：．
由可设、，在表示出点、的坐标，由反比例函数经过点、列出关于的方程，解之求得的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点、的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数．
 

19.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：作于，

由折叠的性质可知，，
由题意得，，
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，
设，则，
在中，，，
在中，，即，
解得，，即，
故答案为．  

20.【答案】；
解：“不合格”的学生人数为人，
将条形统计图补充完整如图：

学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为；
解：把学习效果“优秀”的记为，“良好”记为，“一般”的记为，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，抽取的人学习效果全是“良好”的结果有个，
抽取的人学习效果全是“良好”的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查了画树状图法求概率、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关知识．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
求出“不合格”的学生人数为人，从而补全条形统计图；由乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；
画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】
解：这次活动共抽查的学生人数为人，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：
，米，米，
在中，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
教学楼的高度为米． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，设，
点在该函数图象上，
，
解得，
即当时，；
当时，设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得：与间的函数解析式为；
当时，；
当时，，
即；
与间的函数解析式为；
根据题意得，
，
由知，
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值为，
此时，
答：甲种石材，乙种石材时，总费用最少，最少总费用为元． 

【解析】由图可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
根据的结论，即可得出与间的函数解析式．
根据实际意义可以确定的范围，结合的结论，利用一次函数的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
 

23.【答案】证明：的直径于，
，
，
，
设，的半径等于，则，
连接，在中，，
由勾股定理得：，
解得，，
，
，
；
解：，，，
． 

【解析】先根据垂径定理得出，再由，可知，设，的半径等于，则，连接，在中，，，根据勾股定理用表示出及的值，进而可得出结论；
根据得，，由可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

，
，
，
，
∽，
，
；

结论仍然成立．
理由：如图，

，，
．
，
，
∽，
，
；

如图，

，
又，
，，
，由、的经验可知，
，
解得：，，
的值为秒或秒． 

【解析】如图，由可得，即可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
如图，由可得，即可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
如图，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，由题可得，则有易证根据，就可求出的值．
本题是对型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
 

25.【答案】解：由抛物线过点及，可得：，
解得：，
故抛物线为，
设直线解析式为，将点、代入得：，
解得：，
故直线为．

作点关于直线的对称点，则，由得，
可求出直线的函数关系式为，
当在直线上时，的值最小，
则．

由、得，
点在直线上，设，
当点在线段上时，点在点上方，则，
在抛物线上，

解得，或舍去，
则点的坐标为：．
当点在线段或延长线上时，点在点下方，则，
点在抛物线上，
，
解得或，
即点的坐标为：或
综上可得满足条件的点为或或 

【解析】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．
将点、的坐标代入抛物线解析式可得出、的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出的函数解析式；
利用轴对称求最短路径的知识，找到点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即是点的位置，继而求出的值．
设出点的坐标，分情况讨论，当点在线段上时，点在点上方，当点在线段或延长线上时，点在点下方，根据平行四边形的性质表示出的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可得出的值，继而求出点的坐标．