2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区青泥湾中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区青泥湾中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数，，，每两个之间依次增加一个中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，襄阳市召开年襄阳市经济运行情况新闻发布会，公布了相关数据：年全市实现地区生产总值亿元，稳居全省第位其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法判断

5.  九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  新冠疫情给各地经济带来很大影响．为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个．若该企业五、六月份平均每月的增长率为，则下列方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  函数中，自变量的取值范围是        ．

12.  已知等腰三角形的周长是，底边长为，腰长为，则与的函数关系是        ．

13.  定义，例如则的结果为          ．

14.  设正比例函数的图象经过点，且的值随值的增大而减小，则________．

15.  若干个苹果分给个小孩，如果每人分个，那么余；如果每人分个，那么最后一人能分到苹果但不足个，则        ．

16.  若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
改善小区环境，争创文明家园如图所示，某社区决定在一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草要使草坪部分的总面积为，则小路的宽应为多少？

20.  本小题分
在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价元促销，降价后元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程有实根．
求实数的取值范围．
方程的两个实数根分别为，，若，求的值．

22.  本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点．
 

求一次函数的解析式

当时，直接写出自变量的取值范围

点是一次函数图象上一点，若，求点的坐标．

23.  本小题分
某体育用品专卖店进货时发现：件商品和件商品共需元；件商品和件商品共需元．已知两种商品共进货件，其中商品购进件，商品每件售价为元，商品的销售额元与销量件之间的关系如图所示：
求、每件商品的进价各是多少元？
设销售，两种商品所获总利润为元，请分别求出当和时，与之间的函数关系式；
为了让利消费者，该体育专卖店把商品的售价每件降低元，商品的售价不变．若购进的件，商品全部售完，超市的利润要不低于元，求的最大值．

24.  本小题分
矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形．
特例发现
如图，当时，        ；
类比探究
如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值；
拓展运用
如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为        ．
 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线：与轴交于点，与轴交于点．
如图，当抛物线经过点且与轴的两个交点都在轴右侧时，求抛物线的解析式．
在的条件下，若点为直线上方的抛物线上一点，过点作于，求的最大值．
如图，点，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：无理数有，，每两个之间依次增加一个，共有个，
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了对无理数的定义的理解和运用，理解无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：含的；开方开不尽的根式；一些有规律的数．题型较好，难度适中．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程整理，得，


，
故有两个不相等的实数根，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．利用每人出九钱，会多出钱；每人出钱，又差钱，分别得出方程求出答案．
【解答】
解：设人数为，买鸡的钱数为，
可列方程组为：．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：、原式，故本选项不符合题意．
B、原式，故本选项不符合题意．
C、原式，故本选项不符合题意．
D、原式，故本选项符合题意．
故选：．
根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解．
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．也考查了提公因式法与公式法的综合运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.和不能合并，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选C．
根据二次根式的加减，二次根式的除法和二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果得出选项即可．
本题考查了二次根式的运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线和直线相交于点，则方程组的解是，
故选：．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得五、六月份的产量为、，
．
故选：．
主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率，如果该企业五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象在第二、四象限，
，
一次函数的图象与轴交于负半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有选项正确．
故选：．
根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象与轴交于负半轴，且经过第一、三象限．
此题考查一次函数，正比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．解题时需要“数形结合”的数学思想．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得，．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式即可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数；对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．熟练掌握这几个方面是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为，
，
，
解得．
故答案为：．
等腰三角形的底边长周长腰长，根据腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
此题考查了等腰三角形的性质，根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据规定运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用．
【解答】
解：根据题意得：
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，利用一次函数图象上点的坐标满足一次函数解析式解决问题是本题关键．
将点坐标代入解析式，可求，且的值随值的增大而减小，则
【解答】
解正比例函数的图象经过点，
．

的值随值的增大而减小

故答案为  

15.【答案】或 

【解析】解：如果每人分个，那么余，
这些苹果共有个．
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
或．
故答案为：或．
由“如果每人分个，那么余”，可得出这些苹果共有个，根据“如果每人分个，那么最后一人能分到苹果但不足个”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的正整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
，
由题意得：
且，
且，
故答案为：且．
由题目的已知可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

19.【答案】解：设小路的宽应为，
根据题意得：，
解得：，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：小路的宽应为． 

【解析】设小路的宽应为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意得出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：设降价后每枝玫瑰的售价是元，则降价前每枝玫瑰的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：降价后每枝玫瑰的售价是元． 

【解析】设降价后每枝玫瑰的售价是元，则降价前每枝玫瑰的售价是元，根据降价后元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：关于的一元二次方程有实根，
，
解得；
方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
解得，符合题意．
故所求的值为． 

【解析】利用一元二次方程根的判别式计算即可；
利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

22.【答案】解：把代入中得，
，
把、代入，
得，解得，
一次函数的解析式；
观察图象可知，当时，；
由，，
，
，
，
代入得到点的坐标为或． 

【解析】因一次函数与正比例函数交于点，可以将代入，求出为，再将点、代入，求出，的值即可．
当时，直线在直线的上方；
利用若根据三角形面积公式即可求出，得出的纵坐标，代入即可求得横坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：设，两件商品的进价分别是元，元，
则：，
解得：，
答：，两件商品的进价分别是元，元．
当时，设，由题意知图象经过，即，
解得，
，
．
当时，
设，由题意知图象经过，，
，
解得，
，
．
解：当时，，
由，得，且随的增大而增大，
当时，取最大值，
．
解得．
当时，，
由，得，且随的增大而增大，
当时，取最大值，
．
解得．
的最大值是． 

【解析】设、两件商品的进分别是元，元，件商品和件商品共需元；件商品和件商品共需元列方程组解答；
根据与，得到，推出，根据与，，得到，推出；
当时，，根据，推出，得到随的增大而增大，得到时，取最大值，推出，得到；当时，，根据，推出，得到随的增大而增大，得到当时，取最大值，推出得到，综合得到的最大值是．
本题考查了二元一次方程组，不等式与一次函数的应用销售问题，解决此类问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系．
 

24.【答案】  

【解析】解：如图，延长交于，

，
，，
矩形和矩形是正方形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接，，

，
，，
矩形和矩形是正方形，
，，，
，，
∽，
；
，，
设，，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
故答案为：．
由正方形的性质可得，由矩形的性质可得，，由线段和差关系可求，即可求解；
通过证明∽，可得；
由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，通过证明∽，可求解．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：由，解得，
．
由，
解得，．
抛物线经过点，且抛物线与轴的交点在轴的右侧，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
如图，作轴交直线于点．

当时，，
．
，
，
．
．
于，
．
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
．
．
由，
解得，．
点在直线上方的抛物线上，
．
，，
当时，取最大值为．
，，
．
由可知，抛物线与轴的两个交点坐标为，．
，，
当抛物线与线段只有一个公共点时，这两个交点只能有个在线段上．
如图，当只有点在线段上时，，
解得．
如图，当只有点在线段上时，，
解得．
综上可知，当抛物线与线段只有一个公共点时或． 

【解析】先求点的坐标，再通过解析式等于得方程的解，然后根据图象点的坐标与坐标轴的交点可得答案；
作轴交直线于点根据点的坐标特点与三角函数可得的长，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，然后由两点间距离可得方程，解方程可得答案；
根据抛物线与坐标轴之间的关系可得不等式，然后分当只有点在线段上时，当只有点在线段上时，两种情况可得答案．
此题考查的是二次函数的性质、图象与坐标轴交点问题、两点间距离公式等知识，能够分类讨论是解决此题关键．