2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月底，某市统计局发布本年度经济运行情况根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实现地区生产总值约万元数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方体构成的，则该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一种手机平板支架，图是其侧面结构示意图托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动若量得支撑板长，，则点到底座的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，弦，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，点在函数的图象上，过点作轴，交轴于点，将点绕线段的中点逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连结、若的面积等于，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解：          ．

10.  关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是        ．

11.  九章算术中记载了一道数学问题：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米设每个大桶盛斛米，每个小桶盛斛米，可列方程组为        ．

12.  若正边形的每个内角的度数为，则的值是        ．

13.  如图，是的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，连接，，若，，则阴影部分的面积为        结果保留．

14.  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，点是该抛物线与轴的交点，过点作轴交抛物线于点，连结，若平分，则此抛物线的对称轴为直线        ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
年月日，卡塔尔世界杯盛大开幕，活泼灵动的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一时间“拉伊卜”玩偶供不应求某公司的两个车间负责生产“拉伊卜”玩偶，已知甲车间每天生产玩偶的数量是乙车间的倍，甲车间生产个玩偶比乙车间生产个玩偶少用天求甲、乙两车间每天各生产玩偶多少个？

17.  本小题分
月日是学习雷锋纪念日，为此某班设计了多个献爱心送温暖活动，具体内容有三项：宣传公益环保；敬老院为老人文艺演出；福利院探望小朋友，每位同学从中随机选择一项参加．
该班小明同学选择“宣传公益环保”的概率是        ；
请用列表或画树状图的方法，求该班小明同学和小亮同学同时选择“宣传公益环保”的概率．

18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．
要求：在图中画，使得．
在图中画，使得．
在图中画，使得．
 

19.  本小题分
如图，四边形是菱形，对角线，相交于点过点作，交的延长线于点．
求证：．
，，则菱形的面积为        ．

20.  本小题分
某中学八年级和九年级各有名同学，为了科普防震减灾知识，学校组织了一次知识竞赛李明从两个年级分别随机抽取了名同学的成绩满分分，并对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
八年级、九年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，：

八年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，
八年级、九年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：
补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
直接写出表中的值为        ．
同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”，请判断同学是        填“八”或“九”年级的学生；
估计八年级、九年级两个年级测试成绩优秀分及以上为优秀的总人数约为多少人？结果精确到个位

21.  本小题分
甲车从地出发匀速驶往地，半个小时后，乙车沿同一路线由地匀速驶往地，两车距地的路程与乙车出发时间之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
乙车速度是        ，        ；
求甲车距地的路程与之间的函数解析式；
直接写出在乙车行驶过程中，甲、乙两车相距时的值．

22.  本小题分
【问题原型】如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，连结，过点作于，且，点与点在直线同侧，连结，求的大小．

【思考尝试】以下是华华对于本问题的部分解答过程，请你补全余下的证明过程
解：在边上截取，连结，
，
，
．
在正方形中，
，
．
．
，，
≌．

【拓展迁移】如图，在长方形中，，为边上一动点点，不重合，连结，过点作于，且，点与点在直线同侧；连结，则        ；
提示：类比【思考尝试】的做法，在边上截取，连结，易知
【灵活运用】在的条件下，连结，如图，若，直接写出是直角三角形时的长．

23.  本小题分
在中，是边上的高，，，，点在上，且动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，连结，作点关于直线的对称点设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长；
当点在内部时，求的取值范围；
连结当时，求的面积；
当时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线、是常数经过点和点点在抛物线上，且点的横坐标为．
求、的值；
当的面积为时，求的值；
当点在点的右侧时，抛物线在点与点之间的部分包含端点记为图象，设的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式；
点的横坐标为，纵坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，是一个正方形，正方形的内部的右上角是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：由数轴可得，，，．
故选：．
根据、在数轴上的位置和它们与原点的距离可得答案．
本题考查实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
在中，
，
，
故选：．
过点作于点，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理得到，由于，根据平行线的性质即可得到．
本题考查了圆周角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握并熟练运用圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法知，
是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B.由作法知所作图形是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，故选项B符合题意；
C. 由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D.，，
，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
A.由作法知，可判断；由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断．
本题主要考查了尺规作图作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线等，熟练掌握尺规作图的步骤，并能够准确识别对应的图形是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
将点绕线段的中点逆时针旋转得到点，
，，
，
的面积等于，
，
解得，
，
点恰好落在函数的图象上，
，
解得，
故选：．
设，则，由旋转的性质得到代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数向上的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的旋转，表示出点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程，即没有实数根，
，
的取值范围为．
故答案为：．
根据关于的一元二次方程没有实数根，得出，再进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：大桶加小桶共盛斛米，
；
大桶加小桶共盛斛米，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：．
根据“大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：正边形的每个内角都是，
该正边形的每个外角的度数，
．
故答案为：．
首先根据正边形的每个内角的度数为，即可求得每个外角的度数，再根据多边形的外角和为，即可得到的值．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和为是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：切圆于，
半径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积，扇形的面积，
阴影的面积的面积扇形的面积
故答案为：
由切线的性质，圆周角定理求出的度数，由锐角的正切求出的长，即可求出的面积，扇形的面积，于是得到阴影的面积．
本题考查切线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，关键是掌握切线的性质，扇形的面积计算公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，则，
，
，
轴，
，
平分，
，
，
，
过点作与，
，
设，
则，
即，
解得，
，
，
把，坐标代入抛物线得：，
解得，
抛物线解析式为，
对称轴为．
故答案为：．
先求出点坐标，然后利用角平分线的性质、平行线的性质得出，过点作与，设，用勾股定理求出的值，然后得出点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出结论．
本题考查二次函数的性质、角平分线的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：设乙车间每天生产玩偶个，则甲车间每天生产玩偶个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲车间每天生产玩偶个，乙车间每天生产玩偶个． 

【解析】设乙车间每天生产玩偶个，则甲车间每天生产玩偶个，由题意：甲车间生产个玩偶比乙车间生产个玩偶少用天．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得，该班小明同学选择“宣传公益环保”的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明同学和小亮同学同时选择“宣传公益环保”的结果有种，
小明同学和小亮同学同时选择“宣传公益环保”的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及小明同学和小亮同学同时选择“宣传公益环保”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
如图，即为所求．
 

【解析】取格点，使且，作射线即可．
取格点，连接，取的中点，作射线即可．
取格点，连接，再取格点，，连接交于点，此时：：：，即：：，作射线即可．
本题考查作图应用与设计作图、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
解：四边形是菱形，
，
，
在中，，，设，，
，
即，
解得：，舍去，
，，
，
菱形的面积，
故答案为：．
根据菱形的性质和平行四边形的判定和性质解答即可；
根据菱形的性质和三角函数解答即可．
此题考查菱形的性质和勾股定理，关键是根据菱形的对角线垂直解答．
 

20.【答案】  八 

【解析】解：补全图形如下：

由题意知八年级学生知识竞赛成绩的第、个数据为、，
所以，
故答案为：；
同学是初二年级的学生，
理由：由表可知，八年级的中位数为，九年级的中位数，
若是九年级学生，其成绩必定超过中位数，放到八年级，成绩会更靠前．
所以同学是八年级的学生．
故答案为：八；
人，
答：估计八年级、九年级两个年级测试成绩优秀分及以上为优秀的总人数约为人．
先根据总人数为求出的人数，继而补全图形；
根据中位数的定义求解可得；
利用中位数的意义求解可得；
总人数分别乘以八、九年级分及以上人数所占比例，再相加即可得出答案．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握根据频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的概念和意义、利用样本估计总体的能力．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图象知，乙的速度为：；
甲的速度为：，
则，
故答案为：，；
设甲车距地的路程与之间的函数解析式为，
将、代入，得，
解得，
甲车距地的路程与之间的函数解析式为；
设乙车距地的路程与之间的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
则乙车距地的路程与之间的函数解析式为，
令，
解得，；
当或时，甲、乙两车相距．
由函数图象，用路程时间速度求出甲、乙速度，再根据路程速度时间求出的值；
用待定系数法求出函数解析式即可；
先求出乙车距地的路程与之间的函数解析式，再令，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：在边上截取，连结，
，
，
．
在正方形中，
，
．
．
，，
≌．
，
，，
，
，
，
；
如图，在边上截取，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：；
当为直角三角形时，如图，由知，
则，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
在边上截取，连结，利用证明≌，得，再说明，即可得出答案；
在边上截取，连接，利用∽，得，再说明，可得答案；
由知，根据勾股定理可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，根据问题模型、构造模型是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，，
，
当时，．
当时，；

如图中，当点落在上时，，

，此时．
如图中，当落在上时，，

，此时．
观察图形可知满足条件的的值为：；

如图中，

，，
，
，，
≌，
，，
，
的面积；

如图中，

，
，
由翻折变换的性质可知，
，
，
． 

【解析】分两种情形：当时，当时，分别求解即可；
求出两种特殊情形的值，如图中，当点落在上时，如图中，当落在上时，分别求解即可；
证明≌，推出，，可得结论；
证明，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，翻折变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】解：将，代入，
，
解得；
，，
，
点的横坐标为，
，
点，点，
，
，
解得或或；
点在点的右侧，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，；
当时，；
当时，；
设矩形为，
，，
，，
当点在抛物线上时，，
解得或，
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小；
当时，，
当时，或，
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大；
综上所述：或时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
求出的长，再由，可得，即可求或或；
分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，；
分别表示出矩形的四个顶点，，，，结合图象可知，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形面积的求法，矩形的性质是解题的关键．