2022-2023学年江苏省常州市溧阳市新昌中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市溧阳市新昌中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市新昌中学八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各式：，，，，，，其中分式有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个3.  如果分式中的、，那么这个分式的值(    )A.  B.  C.  D. 4.  小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：，，，中选两个作为补充条件，使▱为正方形如图，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，过点作，垂足为，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 6.  若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，则四边形一定是(    )A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形7.  如图，在正方形中，，是线段上的动点，于点，于点，则的值为    (    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点若，，则的长为 (    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共11小题，共22.0分）9.  当 ______ 时，分式的值为零．10.  若分式有意义，则满足的条件是        ．11.  在▱中，，则        ．12.  如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是______．
 13.  要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，首先应假设这个三角形中______ ．14.  已知：如图，菱形中，，，则以为边长的正方形的周长为______．
 15.  如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则______．
 16.  如图，矩形的顶点的坐标为，则______．
 17.  如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接若，，则 ______ ．
 18.  如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于        ．
 19.  如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为        ．
 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）20.  计算：
；
．四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的三个顶点分别为，，．
画，使它与关于点成中心对称；
平移，使点的对应点坐标为，画出平移后对应的；
若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．
22.  本小题分
如图，在▱中，已知，，平分交边于点，求的长．
23.  本小题分
已知如图，在菱形中，对角线，相交于点，，求证：四边形是矩形．
24.  本小题分
如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接．
求证：；
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
25.  本小题分
操作与证明：如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连接取中点，的中点，连接、．
连接，求证：是等腰三角形；
猜想与发现：
在的条件下，请判断、的数量关系和位置关系，得出结论．
结论：、的数量关系是______；
结论：、的位置关系是______；
拓展与探究：
如图，将图中的直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，则中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
 
 26.  本小题分
如图，四边形是矩形，点、在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段、的长是和；
求直线的表达式；
求的面积；
点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
 2.【答案】 【解析】解：，这个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选B．
根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
 3.【答案】 【解析】解：、，
．
故选：．
直接根据和的值计算即可．
本题考查分式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，本题属于基础题型．
 4.【答案】 【解析】解：、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
当时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
当时，这是矩形的性质，无法得出四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
当时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
当时，矩形是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：．
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
由勾股定理得到：．
又．
．
故选：．
根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，所以可得的长度．
本题考查了菱形的性质．属于中等难度的题目，解答本题关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于底乘以底边上的高，还等于对角线乘积的一半．
 6.【答案】 【解析】解：已知：如右图，四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是对角线垂直的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，
故选：．
此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
 7.【答案】 【解析】解：在正方形中，，，
，，
四边形为矩形，是等腰直角三角形，
，，
，
正方形的边长为，
．
故选D．
根据正方形的对角线互相垂直可得，对角线平分一组对角可得，然后求出四边形为矩形，是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后根据正方形的性质解答即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：是的中点，
，
沿折叠后得到，
，，
，
在矩形中，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
解得．
故选：．
根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：依题意得：且，
解得．
故答案是：．
分式的分子等于零，但分母不等于零．
本题考查了分式的值为零的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 10.【答案】 【解析】解：分式有意义，
，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质推出，即可求出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，能根据性质推出是解此题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：点，为，的中点，，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 13.【答案】每一个内角都大于 【解析】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于．
故答案为：每一个内角都大于．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查菱形与正方形的性质，为基础题．
根据已知可求得是等边三角形，从而得到，再根据正方形的周长公式计算即可．
【解答】
解：，，
是等边三角形，
，
正方形的周长．
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形两底角相等求出，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：连接，
顶点的坐标为．

四边形是矩形．
．
连接，因为四边形是矩形，所以，的坐标为，就可求出的长度，那么就可求出的长度．
本题考查矩形的性质，关键是知道矩形的对角线相等．
 17.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，，
，又是的中点，
，
故答案为：．
根据题意求出，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：如图，延长交于点，作，垂足为．
在中，，，
．
为的中点，
．
，
，
解得．
由翻折的性质可知，，
，．
，，
．
．
，
，，
，
，
，
为直角三角形．
．
故答案为：．
延长交于点，作，垂足为首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
 19.【答案】 【解析】解：连接，，

的长度固定，
要使的周长最小，只需要的长度最小即可，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
的最小长度为的长，
菱形的边长为，为的中点，，
，
，
是等边三角形，
又菱形的边长为，
，，，
的最小周长，
故答案为：．
连接因为的长度固定，所以要使的周长最小，只需要的长度最小即可．
本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 20.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用算术平方根、立方根的定义分别计算得出答案；
直接利用绝对值的性质和实数加减运算计算得出答案．
 21.【答案】如图所示：即为所求；

如图所示：即为所求；

． 【解析】此题主要考查了平移变换和旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
直接利用关于点中心对称的性质得出的对应点进而求出即可；
利用平移的性质得出平移规律进而得出答案；
利用旋转对称图形得出对应点的连线的交点进而得出答案．
 22.【答案】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
．
的长是． 【解析】由平行四边形的性质，角平分线的定义推出，得到，而，即可求出的长．
本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，关键是由平行四边形的性质，角平分线的定义推出．
 23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 【解析】先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，然后由矩形的判定定理得出四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定、菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．
 24.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，是中线，
，
；

解：四边形是正方形．
，，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是正方形． 【解析】由是的中点，，易证得≌，即可得，又由在中，，是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可证得：；
由，，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形．
此题考查了正方形的判定、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
即，
在和中，

≌，
，
是等腰三角形；
相等；垂直；
解：中的两个结论还成立，理由如下：
连接，交于点，

点为的中点，点为的中点，
，，
由同理可证，≌，
，
在中，
点为的中点，
，
，
≌，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．
解：见答案
在中是斜边的中线，
，
是的中位线，
，，
，
；
，，
，
，
，

；
故答案为相等；垂直；
见答案．
 26.【答案】解：四边形是矩形，，，
，
是由绕点顺时针旋转得到的，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
直线的解析式为，
，
是矩形，
，，
≌，
由旋转可知，≌，
≌，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
；
存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形，理由如下：
当点在轴负半轴上时，
，，
，即，
解得，
，
点平移到点，点平移到点，
；
当点在轴负半轴上时，，即，
解得，
，
点平移到点，点平移到点，
；
当点与原点重合时，此时为矩形的对角线，
；
综上所述：点坐标为或或 【解析】根据旋转的性质求出点坐标，根据矩形的性质求出点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
分别求出，，先确定直线的解析式，从而求出点坐标，再求的面积即可；
分三种情况讨论：当点在轴负半轴上时，，再由点平移到点，点平移到点，求出；当点在轴负半轴上时，，再由点平移到点，点平移到点，求出；当点与原点重合时，此时为矩形的对角线，
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定及性质，三角形旋转的性质是解题的关键．