初中数学13.3.1 等腰三角形第1课时教学设计

第十三章  轴对称

13.3  等腰三角形
13.3.1 等腰三角形

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算.

【过程与方法】

经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.

【情感、态度与价值观】

通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.

【教学难点】 

等腰三角形性质和判定的探索和应用.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程

（一）导入新课

出示等腰三角形示例，学生观看回顾相关知识（出示课件2）

我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿着虚线剪开,再把它展开,得到一个等腰三角形,通过折叠你发现了等腰三角形的那些性质?（出示课件3）

（二）探索新知

1.师生互动，探究等腰三角形的性质

教师问1:把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并按教材要求剪去阴影部分，再把它展开，观察AC和AB有什么关系？

学生动手操作后回答：AC=AB。

教师问2：上述过程得到的△ABC有什么特点？(出示课件5-6)

学生回答：两条边AC与AB相等，是一个等腰三角形.

教师问3：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（出示课件7）

学生回答：△ABC 是轴对称图形，折痕AD所在的直线是它的对称轴.

(3)回顾：什么是等腰三角形，等腰三角形中学过哪些重要线段？

教师问4：把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

学生观察讨论后并完成下表（出示课件8）

教师问5：观察上表，由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
    学生猜想1：等腰三角形的两个底角相等.

教师问6：如何证明我们的猜想是否正确呢？

师生共同解答如下：

已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=∠C.

教师问7：如何证明两个角相等呢？

学生讨论后回答：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.

教师问8：这里只有一个三角形，全等三角形需要两个三角形. 如何构造两个全等的三角形？（出示课件9）

师生共同讨论后解答如下：（出示课件10）

方法一：作底边上的中线.

证明：作底边的中线AD，则BD=CD.
在△BAD和△CAD中

AB=AC  ( 已知 )，

BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，

∴ △BAD≌ △CAD (SSS).

∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

教师问9：还有其他的证法吗？

师生讨论后得到如下答案：（出示课件11）

方法二：作顶角的平分线

证明：作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中

AB=AC  ( 已知 ),

∠BAD=∠CAD ( 已作 ),

AD=AD (公共边),

∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).

∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

教师问10：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？   

学生小组内讨论后得到如下答案：（出示课件12）

解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC=  90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .      

总结点拨：（出示课件13）

性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.

（出示课件14）

数学语言：

如图, 在△ABC中,

∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）

∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）

教师问11：画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
学生作图如下：

教师问12：如果是底角的平分线和他所对的腰上的高、中线具有这个性质吗？

学生作图并且比较后回答：不具有三线合一的性质.

作图如下：（出示课件15）

例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（出示课件17）

师生共同解答如下：

分析：（1）找出图中所有相等的角；∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；

（2）指出图中有几个等腰三角形？

△ABC,△ABD, △BCD.
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？（出示课件18）
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,

∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.

出示课件19：

解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
总结点拨：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例2：等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)（出示课件22）

A．65°或50°                                       B．80°或40°
C．65°或80°                                       D．50°或80°
解析：当等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（180°-50°）÷2=130°÷2=65°；

当等腰三角形的一个底角是50°，则这个三角形的顶角的大小是180°-50°×2=80°，所以底角是65°或50°，故选A.

总结点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

例3：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.（出示课件24）

(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.

师生共同解答如下：（出示课件25）

证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG–DG＝CG–EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

总结点拨：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
  （三）课堂练习（出示课件30-35）

1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（    　）
A．30°，60°             B．45°，45°
C．45°，90°             D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40°       B．30°          C．70°      D．50°

3.

(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为__________________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为___________________.
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．

5. 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.

6. 如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.

7. A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．

参考答案：

1.B

2.A

3.(1) 45°, 90°； (2) 72°,72°或36°,108°；（3）30°，30°

4. 70°或20°

5. 解：∵AB=AC，

∴ ∠C= ∠B=30°，
∵BD = CD，∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC = 90°.
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
6. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

又∵BD、CE为底角的平分线，

∴

∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF.
7.解答如下图：

分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！共8个.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)　

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)　

（五）课前预习

预习下节课（13.3.1）77页到78页的相关内容。

知道等腰三角形的判定定理

七、课后作业

1、教材77页练习1,2

2、如下图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是(　　)

A.∠1=2∠2

B.∠1+∠2=180°

C.∠1+3∠2=180°

D.3∠1-∠2=180°

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节课的是等腰三角形的性质,设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质,并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对等边对等角以及“三线合一”的性质理解不透,应用的不是很熟练,仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习.

2.本节课通过学生动手实践，观察分析，猜想证明，完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，最后，学生动手运用所学知识解决问题，真正实现学生为主体的教学理念.