江苏省南京外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份江苏省南京外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了下列调查方式合适的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年年南京外国语学校八下期中数学一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）1．下列调查方式合适的是（　　）A．为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式 C．调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式 D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式2．如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是（　　）A．仙游明天将有85%的时间下雨 B．仙游明天将有85%的地区下雨 C．仙游明天下雨的可能性较大 D．仙游明天下雨的可能性较小3．把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（　　）A．扩大到原来的8倍 B．缩小到原来的8倍 C．是原来的 D．不变4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）A．24 B．48 C．72 D．965．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形6．已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）7．在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是 　   　事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）8．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有40名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是 　   　．9．如图是友谊商场某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是 　   　月份．10．如图，在▱ABCD中，AE＝2，AD＝5，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为 　   　．11．如果m+n＝4，那么代数式（+2n）•的值为　   　．12．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需　   　小时．13．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD＝8，且两条对角线的夹角为60°，则该四边形较短的“中对线”的长为 　   　．14．若关于x的方程无解，则m＝　   　．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　   　秒后，四边形BEDF是矩形．16．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是　   　．三．解答题（共10小题，共68分）17．（6分）先化简再求值：，在0，1，2中选择合适的x的值代入并求值．18．（6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　   　．19．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，组别正确字数x人数A0≤x≤810B8≤x≤1615C16≤x≤2425D24≤x≤32mE32≤x≤40n（1）在统计表中，m＝　   　，n＝　   　，并补全直方图；（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 　   　；（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．20．（6分）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200030005000800010000摸到黑球的次数m65011801890310048206013摸到黑球的频率0.650.590.630.620.60250.6013（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　   　（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球 　   　个；（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　   　个或减少黑球 　   　个．21．（6分）已知关于x的分式方程．（1）当m＝1时，求方程的解．（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．22．（6分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，判断四边形ADCF的形状，并说明理由．23．（6分）乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程．某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：＝30．（1）根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是 　   　．A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务（2）在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？24．（6分）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b∵对于任意x上述等式成立∴解得：∴这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　   　；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　   　；25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．（1）求证：CG＝CE；（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；（3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度．26．（9分）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，联结DE，则AC∥ED．（1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；小明同学提出如下解题思路，请补全：【思路分析】由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE,BC=EC;由平行四边形性质得__________,AD∥BC，由上面分析可证得EC=AD_________,这样就可以得到OA=OC,则_______在由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证∠CAD＝∠ACE=∠OED＝∠ODE，即可得出结论.（2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，求△AOC的面积；（3）（3）①如果∠B＝30°，AB＝3，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．②设BC的长度为x，当AC<ED时，直接写出x的取值范围。
2022-2023学年年南京外国语学校八下期中数学参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列调查方式合适的是（　　）A．为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式 C．调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式 D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式【解答】解：A．为了解全国中学生的视力状况，宜采用抽样调查的方式，因此选项A不符合题意；B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，因此选项B不符合题意；C．调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，宜采用抽样调查的方式，因此选项C符合题意；D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，宜抽取全面调查的方式，因此选项D不符合题意；故选：C．2．如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是（　　）A．仙游明天将有85%的时间下雨 B．仙游明天将有85%的地区下雨 C．仙游明天下雨的可能性较大 D．仙游明天下雨的可能性较小【解答】解：如上图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”，对这条信息的上列说法中，正确的是仙游明天下雨的可能性较大，故选：C．3．把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（　　）A．扩大到原来的8倍 B．缩小到原来的8倍 C．是原来的 D．不变【解答】解：把分式中的m、n都扩大到原来的8倍为：，∴分式的值扩大到原来的8倍，故选：A．4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）A．24 B．48 C．72 D．96【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH＝2×4＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48，故选：B．5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形【解答】解：如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；故选：D．6．已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【解答】解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．∴M＝＝，N＝＝．∴MN＝≤0．∴结论Ⅱ正确．综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．故选：A．二．填空题（共10小题）7．在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是 　随机　事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）【解答】解：在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是随机事件，故答案为：随机．8．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有40名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是 　18　．【解答】解：该班学会炒菜的学生频数为：40×0.45＝18，故答案为：18．9．如图是友谊商场某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是 　2　月份．【解答】解：由图象中的信息可知，利润＝售价﹣进价，利润最大的是2月，故答案为：2．10．如图，在▱ABCD中，AE＝2，AD＝5，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为 　3　．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，∴∠E＝∠DCE，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴CD＝AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，故答案为：3．11．如果m+n＝4，那么代数式（+2n）•的值为　8　．【解答】解：原式＝•＝•＝2（m+n），当m+n＝4时，原式＝2×4＝8．故答案为8．12．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需　　小时．【解答】解：由题意可得，假设A到B顺流，则B到A逆流，轮船往返两个港口之间需要的时间为：＝小时，故答案为：．13．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD＝8，且两条对角线的夹角为60°，则该四边形较短的“中对线”的长为 　4　．【解答】解：分别取AB、BC、CD、AD的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，设AC与BD的交点为Q，则EF＝AC＝4，EF∥AC，GH＝AC＝4，GH∥AC，EH＝BD＝4，EH∥BD，∴四边形EFGH为菱形，∠HEF＝∠AQB＝60°，∴△EFH为等边三角形，∴HF＝EF＝4，故答案为：4．14．若关于x的方程无解，则m＝　﹣1或1　．【解答】解：，两边同时乘以x﹣1得，2﹣x＝﹣mx，移项得，（1﹣m）x＝2，∵方程无解，当m＝1时，方程无解，当x＝1时，1﹣m＝2，∴m＝﹣1，此时方程无解，综上所述，当m＝1或m＝﹣1时，方程无解，故答案为﹣1或1．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　2或10　秒后，四边形BEDF是矩形．【解答】解：设运动的时间为t秒，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝4，，∵AE＝CF＝t，∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6，∴四边形BEDF是平行四边形，∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形，∴OE＝OD，∴6﹣t＝4或t﹣6＝4，∴t＝2或t＝10，∴经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形，故答案为：2或10．16．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是　2+2　．【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，HG＝CD＝4，∵QH＝QG，∴QG＝2，在Rt△BCN中，BN＝＝2，∵∠CBG＝90°，PC＝PG，∴PB＝PG＝PC，∴PQ+PG＝PN+PB≥BN＝2，∴PQ+PG的最小值为2，∴△GPQ的周长的最小值为2+2，故答案为2+2．三．解答题（共10小题）17．先化简再求值：，在0，1，2中选择合适的x的值代入并求值．【解答】解：原式＝＝＝，x≠0，1，﹣1，所以x＝2，原式＝．18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　（0，1）　．【解答】解：（1）作图如下：（2）作图如下：（3）根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；故旋转中心在线段BE、CF的中垂线上；由图像可知，该点的坐标为（0，1）．19．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，组别正确字数x人数A0≤x≤810B8≤x≤1615C16≤x≤2425D24≤x≤32mE32≤x≤40n（1）在统计表中，m＝　30　，n＝　20　，并补全直方图；（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 　90°　；（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．【解答】解：（1）根据B组的数据可知，抽查的总人数是15÷15%＝100（人），∴D组中的m＝100×30%＝30，E组中的n＝100×20%＝20，补全直方图如图． 故答案为：30，20；（2）“C组”的人数是25人，占本次抽查人数的，∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是，故答案为：90°．（3）听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是，∴该校共有2000名学生中优秀人数约是（人）．故听写“优秀”的学生人数约为400人．20．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200030005000800010000摸到黑球的次数m65011801890310048206013摸到黑球的频率0.650.590.630.620.60250.6013（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　0.6　（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球 　30　个；（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　10　个或减少黑球 　10　个．【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，故答案为：0.6；（2）黑球的个数为50×0.6＝30个，故答案为：30；（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，故答案为：10，10．21．已知关于x的分式方程．（1）当m＝1时，求方程的解．（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，，，，，去分母得：x+1＝2（x﹣1），解得：x＝3，检验：当x＝3时x﹣1≠0，故方程的解为：x＝3；（2），，，，去分母得：x+m＝2（x﹣1），解得：x＝m+2，由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0，即：m+2≠1且m+2≥0即：m≥﹣2且m≠﹣122．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，判断四边形ADCF的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∴AF＝DC．∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：四边形ADCF是矩形．理由如下：在△ABC中，AB＝AC，AD是斜边BC上的中线，∴AD⊥BC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是矩形．23．乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程．某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：＝30．（1）根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是 　C　．A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务（2）在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？【解答】解：（1）∵所列方程为＝30，且x表示原计划每天筑路的面积，∴（1﹣20%）x表示实际每天筑路的面积，∴题干中省略的部分为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务．故选：C；（2）设原计划完成这项筑路工程需要y天，则实际完成这项筑路工程需要（y+30）天，根据题意得：＝（1﹣20%）×，解得：y＝120，经检验，y＝120是所列方程的解，且符合题意．答：原计划完成这项筑路工程需要120天．24．阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b∵对于任意x上述等式成立∴解得：∴这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　　；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　4、16、2、﹣10　；【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b∵对于任意x上述等式成立，∴，解得，拆分成，故答案为：；（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b∵对于任意x上述等式成立，，解得，拆分成2x+11+，则满足条件的整数x＝4、16、2、﹣10，故答案为：4、16、2、﹣10；25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．（1）求证：CG＝CE；（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；（3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度．【解答】证明：（1）∵AE平分∠CAB∴∠CAE＝∠BAE∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°∴∠CEG＝∠AGD＝∠CGE∴CG＝CE （2）四边形CGFE是菱形理由如下：∵GF∥BC∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE∴∠AGC＝∠AGF又∵∠CAE＝∠BAE，AG＝AG∴△AGC≌△AGF（ASA）∴CG＝FG∴CE∥FG且CE＝FG∴四边形CEFG是平行四边形又∵CG＝CE，∴四边形CEFG是菱形．（3）∵△AGC≌△AGF∴AC＝AF＝3cm，∴BF＝2AF＝6cm，AB＝9cm，∴BC＝＝6cm∵四边形CGFE是菱形∴EF∥CG，且CD⊥AB∴EF⊥AB，设CE＝EF＝x，在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2，∴x2+36＝（6﹣x）2，解得x＝∴CE＝CG＝cm又∵∠ACB＝90°，且CD⊥AB，∵S△ABC＝×AC×BC＝AB×CD∴CD＝＝2cm∴DG＝CD﹣CG＝2﹣＝cm26．（9分）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，联结DE，则AC∥ED．（1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；小明同学提出如下解题思路，请补全：【思路分析】由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE,BC=EC;由平行四边形性质得__________,AD∥BC，由上面分析可证得EC=AD_________,这样就可以得到OA=OC,则_______在由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证∠CAD＝∠ACE=∠OED＝∠ODE，即可得出结论.（2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，求△AOC的面积；（3）①如果∠B＝30°，AB＝3，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．②设BC的长度为x，当AC<ED时，直接写出x的取值范围。 【解答】（1）证明：由折叠的性质得：△ABC≌△AEC，∴∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACE＝∠CAD，∴OA＝OC，∴OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AOC＝∠DOE，∴∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，∴AC∥DE； （2）解：∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝2，由（1）得：OA＝OC，设OA＝OC＝x，则OD＝2﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：（）2+（2﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴OA＝，∴△OAC的面积＝OA×CD＝××＝； （3）解：分4种情况：①如图，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于G，∵AD＝BC，BC＝EC，AE＝AB＝3，∴AD＝EC，∵AD∥BC，∠EAD＝90°，∴∠EGC＝∠AGB＝90°，∵∠B＝30°，AB＝3，∴∠AEC＝30°，BG＝AB＝，∴GC＝EC＝BC，∴G是BC的中点，∴BC＝2BG＝3；②如图，当∠AED＝90°时，∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，由折叠的性质得：AE＝AB＝3，∴AE＝CD，在△ACE和△CAD中，，∴△ACE≌△CAD（SSS），∴∠ECA＝∠DAC，∴OA＝OC，∴OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AED＝∠CDE，∵∠AED＝90°，∴∠CDE＝90°，∴AE∥CD，又∵AB∥CD，∴B，A，E在同一直线上，∴∠BAC＝∠EAC＝90°，∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，∴AC＝AB＝，BC＝2AC＝2；③当∠EAD＝90°时，如图：在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝30°，∴∠AOD＝60°，由（1）知∠ODE＝∠OED，∴∠ODE＝∠OED＝30°，∵AE＝AB＝3，∴BC＝AD＝；④当∠ADE＝90°时，如图：∵AC∥ED，∴∠DAC＝∠ADE＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°，∵AB＝3，∠B＝30°，∴AC＝AB＝，∴BC＝；综上所述，当△AED是直角三角形时，BC的长为3或2或或．②x>2