山东省青岛市黄岛区2023年中考（一模）数学试题

这是一份山东省青岛市黄岛区2023年中考（一模）数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省青岛市黄岛区2023年中考（一模）数学试题

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A．2023 B． C． D．
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．某公园供游客休息的石板凳如图所示，它的左视图是（    ）

A． B． C． D．
4．在九年级体育素质测试中，某小组5名同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，则被遮盖的两个数据依次是（    ）
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
90
92
89
▅
88
▅
90

A．91，2 B．91，10 C．92，2 D．92，10
5．两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为（    ）

A．34° B．56° C．79° D．146°
6．为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ）

A． B． C． D．
8．函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
9．计算的结果是______．
10．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为______．

12．如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为______．（结果保留）

13．如图，纸片中，，是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么的长度为______．

14．如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在上．下列结论正确的有：______．（填写序号）①；②；③；④．


三、解答题
15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段；
求作：矩形，使．

16．
(1)计算：；
(2)解不等式组：
17．某强校提质校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四组（依次记为）．小明和小亮两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
(1)小明抽到组题目的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮两名同学抽到不同题目的概率．
18．为增强居民防治噪声污染意识，保障公共健康，某地区环保部门随机抽取了某一天部分噪声测量点18：00这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成，，，，五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．
组别
噪声声级x/dB
频数


5





18





9


请解答下列问题：
(1)______；______；
(2)在扇形统计图中组对应的扇形圆心角的度数是______；
(3)若该地区共有600个噪声测量点，请估计该地区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．
19．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，放风筝是大家喜爱的一种户外运动，周末小明在公园广场上放风筝．如图，他在处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了处，此时风筝线与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离处米的处，此时风筝线与水平线的夹角为．已知点在同一条水平直线上，请你求出小明从处到处的过程中所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线均为线段，，）．

20．正比例函数和反比例函数的图像交于A、B两点，已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)求这两个函数的表达式．
21．【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．
如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【初步应用】
如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，
（1）若，则______；
（2）若，则______；
（3）若，则______．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，
（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；
（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；
（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．
22．裕华酒店有104间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的空调一台，已知甲工程队每天比乙工程队多安装4台，甲工程队的安装任务有60台，两队同时安装．
(1)甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
(2)裕华酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电2度．据预估，每天至少有90间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.9元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（元）的范围．
23．如图，在中，交于点O，点E，F分别是的中点．

(1)求证：；
(2)请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形为菱形．
24．振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料
甲
乙
单价（元/米）
800
600

设矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．

(1)求y与x之间的关系式；
(2)当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．
25．如图，在正方形中，，将正方形绕点按顺时针方向旋转得到正方形．动点从点出发，沿方向运动，运动速度为．过点作的垂线，交于点，连接，交于点．设动点的运动时间为（）．解答下列问题：

(1)当为何值时，？
(2)设的面积为，求与之间的关系式；
(3)当运动时间为时，求的长；
(4)若是的中点，在运动的过程中，点到两边距离的和是否为定值？请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．
3．B
【分析】根据左视图的定义和画法判定即可．
【详解】从左边看，可得左视图为：

故选：B
【点睛】本题主要考查立体图形的三视图，正确理解左视图是从左边看而得到的图形是解题的关键．
4．A
【分析】设编号4的得分为x，根据求平均数的公式可求出x的值．再根据求方差的公式求出方差即可．
【详解】解：设编号4的得分为x，
则根据题意有，
解得：．
∴．
故被遮盖的两个数据依次是91，2．
故选A．
【点睛】本题考查已知平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数和方差的公式是解题关键．
5．B
【分析】利用邻补角互补，矩形的四个内角为90°，三角形内角和定理求解即可．
【详解】


图中的四边形是矩形


故选：B
【点睛】本题主要考查矩形的四个内角都是90度，邻补角互补，三角形的内角和定理．解题的关键是找到角之间的联系，综合运用各个知识点求解．
6．D
【分析】设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，根据题意列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，
则列方程为．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
7．C
【分析】是等边的外接圆，如图所示，连接，过点作于，证明是含特殊角的直接三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，连接，过点作于，

∵是等边的外接圆，，
∴，平分，是弦的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
设，则，
∴，即，解得，（舍去），，
∴
∴的半径是，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形，圆，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，外接圆的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答．
【详解】根据可得：函数的对称轴为：，
当时，
二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴左侧，
一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；
当时，
二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴右侧，
一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；
根据上述结果：可知A、C、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等．
9．
【分析】先将化为最简二次根式，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的加减，先将二次根式整理成最简二次根式是解题关键．
10．3.4×10-10
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0．00000000034=3.4×10-10．
故答案为：3.4×10-10．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．##
【分析】根据关于原点位似的关系和位似比，结合点B与点C位于位似中心的异侧，即可将点B的坐标都乘以即可．
【详解】∵与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—位似变换．掌握点在坐标系中位似变换的规律是解题关键．
12．
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
13．
【分析】在中，，是的中点，与交于点，证明是等边三角形，，根据含特殊角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
设与交于点，且沿折叠得，，

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴在中，，
∴，则，
同理，在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查含特殊角的直角三角形，折叠的综合，掌握折叠的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
14．①②④
【分析】证明可求证结论①，②，设，列出方程，可求解结论③，根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理可证结论④．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴中，，
∴，
∴，故结论①正确；
由结论①正确可知，，
∴，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴，
在中，，故结论②正确；
由结论①正确可知，是等腰直角三角形，且，
∴，设，则，，
如图所示，连接交于点，且是等边三角形，

，且由结论①正确可知点是的中点，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴，，
∴，故结论③错误；
∵正方形中，边长为的等边三角形，
∴，连接，交于点，如图所示，

∴在等边三角形中，点是的中点，
∴，
在中，，
由结论①正确，可知是直角等腰三角形，，点是的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，即，
∴，故结论④正确；
综上所述，结论正确的序号是①②④，
故答案是：①②④．
【点睛】本题主要考查正方形，等腰三角形的综合，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角行的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
15．作图见详解
【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可．
【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点；
（2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取，
（3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形，
如图所示，即为所求图形．

∴矩形即为所求图形．
【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
16．(1)
(2)

【分析】（1）按照分式的混合运算进行求解；
（2）分别求出各个不等式的解集，再求出各解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）


（2）
解不等式①，得；
解不等式②，得；
不等式组的解集为：
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解不等式组．解题的关键是熟练求解分式的混合运算，求解不等式组，解题时要仔细．
17．(1)
(2)

【分析】（1）抽取项目有四组，小明抽取一组，根据概率计算公式即可求解；
（2）用树状图把所有可能的结果表示出来，再找出小明和小亮不同题目的结果，根据概率计算公式即可求解．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果有种，小明抽到组的概率为，
故答案为：．
（2）解：抽取一组，然后放回，抽取结果如图所示，

所有可能出现的结果有种，小明和小亮抽取结果不同的有种，
∴小明和小亮两名同学抽到不同题目的概率为．
【点睛】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握概率的计算方法，列表法或画树状图表示所有可能出现的结果的方法是解题的关键．
18．(1)13，15
(2)54
(3)360

【分析】（1）先由组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以组对应的百分比求出的值，继而根据5组的频数之和等于样本容量可得的值；
（2）用乘以组频数所占比例即可；
（3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可．
【详解】（1）解：样本容量为，
，
，
故答案为：13，15；
（2）解：在扇形统计图中组对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：54；
（3）解：该地区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为（个），
答：该地区共有600个噪声测量点，请估计该地区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为360个．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体．
19．小明从处到处的过程中所收回的风筝线的长度是米
【分析】如图所示，过点作于点，，，，在，中，分别求出的长即可求解．
在中，
【详解】解：如图所示，过点作于点，，，，

∴是等腰直角三角形，设，则，
在中，，
∴，
∴，即，解得，（舍去），，
∴，，
在中，，
在中，，则，
∴，且，，
∴，
∴小明从处到处的过程中所收回的风筝线的长度是米．
【点睛】本题主要考查含特殊角的直角三角形的运用，掌握含特殊角的直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
20．(1)
(2)，．

【分析】（1）根据反比例函数的图像是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可解答；
（2）把分别代入函数与中即可解答．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称，
又∵点A的横坐标为2，点B的纵坐标为，
∴点A的纵坐标是6，点B的横坐标是．
∴；
（2）解：把的值代入函数与可得：，
所以两函数解析式分别为，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数图像的对称性等知识点，根据反比例函数图像的中心对称性求得A、B的坐标是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）．
【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（3）由（2）同理求解即可；
（4）根据角平分线的定义可得出，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可；
（5）由，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可；
（6）由，，即可求出，结合（3）可知，最后由三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：；
（3）由（2）同理可得．
∵，，
∴
故答案为：；
（4）∵和的平分线交于点O，
∴，，
∴．
由（2）可知，
∴，
∴．
故答案为：；
（5）∵，，
∴．
由（2）可知，
∴，
∴．
故答案为：100；
（6）∵，，
∴．
由（3）可知，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义和角的n等分点的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
22．(1)甲工程队每天安装15台空调，乙工程队每天安装11台空调，才能同时完成任务；
(2)

【分析】（1）设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，根据“甲队的安装任务除以甲队的速度等于乙队的安装任务除以乙队的速度”列分式方程求解并检验即可解答；
（2）设每天有间客房有旅客住宿，先根据题意表示出W，再根据，即可确定W的范围．
【详解】（1）解：设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，
由题意得，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（台），
答：甲工程队每天安装15台空调，乙工程队每天安装11台空调，才能同时完成任务．
（2）解：设每天有间客房有旅客住宿，
由题意得，
，
随的增大而增大，
，
当时，；当时，；
．
【点睛】本题主要考查了列分式方程的应用、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，准确理解题意、正确列出分式方程、函数关系式和不等式是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)②，证明见解析

【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到然后根据题意得到，进而证明出四边形是平行四边形，即可得到；
（2）选择添加的条件是：②，首先根据平行四边形的性质得到，然后利用等量代换得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形
∴
∵点E，F分别是的中点
∴
∴四边形是平行四边形
∴；
（2）选择添加的条件是：②．
证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴平行四边形是菱形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．(1)
(2)不够用，理由见解析

【分析】（1）由题意可得出米，米，再求出四周八个全等的矩形所需材料的费用和中间正方形所需材料的费用，最后将两笔费用相加即得出y与x之间的关系式；
（2）根据题意可得出，解出x的取值范围．令，则，解出x的值，比较该解是否在x的取值范围内，如果在说明预备材料的购买资金28000元够用，反之则不够用．
【详解】（1）解：∵四边形是一块6×6米的正方形，
∴米．
∵四周阴影部分是八个全等的矩形，
∴米．
∵中心区域是正方形，
∴米，
∴


．
∵，
∴，
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：不够用．
理由：由题意可知，
∴，
∴．
当时，,
解得：，
∴都不符合题意，
即说明当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元不够用．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，看懂图形，找出等量关系和不等关系，列出等式和不等式是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)
(4)是，理由见解析

【分析】（1）由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，推出，根据面积比等于相似比的平方求解即可；
（2）根据平行线的性质可得等于的边的高，根据三角形的面积公式即可列出关系式；
（3）由推出，根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（4）过点作，，点，为垂足，延长交于点，连接，推出，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：、分别是两个正方形的对角线，，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
解得：或（舍去），
当时，；
（2）解：、分别是两个正方形的对角线，
，
，
根据平行线的性质可得：等于的边的高，
，
；
（3）解：，
，，
，
，
，，
，
，
，即，
解得：；
（4）解：是定值，理由如下：
如图，过点作，，点，为垂足，延长交于点，连接，

是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．