初中数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式达标测试

第十四章  整式的乘法与因式分解

14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

一、教学目标

【知识与技能】

会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

【过程与方法】

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.

【情感、态度与价值观】

通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.

二、课型

新授课

三、课时

1课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

(1)体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.

(2)平方差公式的几何意义.

【教学难点】

从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、平方差公式结构图等。

学生：练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。

六、教学过程

（一）导入新课

某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？（出示课件2）

这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.

（二）探索新知

1.创设情境，探究平方差公式

教师问1：对于下面的算式，你想怎样计算呢？

(1)2001 ×1999；　(2)998×1002；　(3)403×397.

学生回答：直接计算或者利用乘法分配律进行计算.

教师问2：有没有其他巧妙地方法呢？观察这三个式子有什么共同特征？

学生讨论后回答：都在某个整百整千的附近.

教师讲解：今天我们将进行新的学习，通过学习你将能快速地计算出结果.

教师问3：哪位同学说一下前面学的多项式与多项式是如何相乘的？

学生回答：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（出示课件4）

教师问4：二项式乘以二项式结果一定是四项吗？

学生回答：结果不一定是四项.

教师问5：想一想(a＋b)(m＋n)该怎么计算？

学生回答：(a＋b)(m＋n)=am+an+bm+bn

教师问6：如何计算(x ＋3)( x＋5)？

学生回答：(x＋3)( x＋5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.

教师问7：观察图形，思考两个正方形的面积差变了吗？（出示课件5）

学生讨论后回答：

变化之前面积表示为：a2-52=a2-25；

变化之后面积表示为（a+5）×（a-5）= a2 -5a+5a-52= a2-25.

变化前后图形面积相等。

教师问8：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（出示课件6）

(1)(x＋1)(x－1)；　　　　　(2)(m＋2)(m－2)；

(3)(2m＋1)(2m－1);         (4)( 5y＋z)( 5y－z).

学生讨论后，可能的说法有：上面四个算式中每个因式都是两项；它们都是两个数的和与差的积.

教师问9：请计算上面的多项式的积.

学生解答如下：

(1)(x＋1)(x－1)＝x2＋x－x－1＝x2－12；

(2)(m＋2)(m－2)＝m2＋2m－2m－2×2＝m2－22；

(3) (2m＋1)(2m－1)＝(2m)2＋2m－2m－1＝(2m)2－12；

(4) ( 5y＋z)( 5y－z)＝(5y)2-5yz+ 5yz－z2＝(5y)2－z2.

教师问10：观察结果，你有什么发现？

学生小组讨论给出答案：都是两个数平方相减.

教师问11：再举几个这样的运算例子.自己独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后观察这些计算结果有什么特点？

学生回答：计算结果是这两个数的平方差.

教师问12：这两个多项式有何特点呢？

学生讨论后回答：两数的和乘以两个数的差.

教师问13：你能用语言叙述你发现的规律，并用数学符号表示出来吗？

师生活动：学生叙述，其他学生补充，师生共同归纳如下：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

教师问14：以上结论正确吗？如何验证？

学生尝试：可以通过多项式乘以多项式法则计算得到.验证如下：

(a＋b)(a－b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2

教师：前面同学们已经计算的两个正方形面积差也证明了这个等式的相等关系。

师生共同归纳：以上的猜想是正确的，因为最终结果是两个数的平方的差的形式，我们叫它“平方差公式”.

总结点拨：（出示课件7-9）

平方差公式

（a+b）(a-b)= a2-b2

两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.

公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2

点拨：

1.公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
例1：计算：(1)  (3x＋2 )( 3x–2 ) ；(2)(–x+2y)(–x–2y).（出示课件12）

师生共同解答如下：

解： (1)原式=(3x)2–22
               =9x2–4；
   (2) 原式= (–x)2 – (2y)2
           = x2 – 4y2.
    易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.

例2：计算:
(1)  102×98;         (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .（出示课件14）

师生共同解答如下：

解: (1)  102×98
=(100＋2)(100–2)
= 1002–22
=10000 – 4
=9996；

总结点拨：通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)

= y2–4–y2–4y+5
= – 4y + 1.
总结点拨：不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
例3：先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.（出示课件16）
师生共同解答如下：

解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
＝4x2–y2–4y2＋x2

＝5x2–5y2.

当x＝1，y＝2时，

原式＝5×12–5×22＝–15.
例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？（出示课件18）
师生共同解答如下：

解：原式＝9n2–1–(9–n2)

＝10n2–10.

∵(10n2–10)÷10=n2–1.

n为正整数，

∴n2–1为整数
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
    总结点拨：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．（出示课件19）
    例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？（出示课件21）

师生共同解答如下：

解：李大妈吃亏了．

理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，

∵a2＞a2–16，

∴李大妈吃亏了．

总结点拨：（出示课件22）

解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
  （三）课堂练习（出示课件25-30）

1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y)                       B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x)                     D．(x＋y)(–x–y)
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)
A．4x2–1      B．2x2–1      C．4x–1       D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．

4. 利用平方差公式计算：

(1)(a+3b)(a– 3b)；(2)(3+2a)(–3+2a)；

(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
5. 计算： 20152 – 2014×2016.
6. 利用平方差公式计算:

(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) ；(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).

7. 先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
8. 已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；

参考答案：

1.C

2.A

3.10

4.解：（1）原式=(a)2–(3b)2
             =a2–9b2 ；

（2）原式=(2a+3)(2a–3)
         =(2a)2–32
         =4a2–9；

（3）原式=(–2x2 )2–y2
        =4x4–y2.
5. 解：20152 – 2014×2016
      = 20152 – (2015–1)(2015+1)
     = 20152– (20152–12 )
     = 20152–  20152+12
     =1

6.解：（1）原式=(a2–4)(a2+4)
              =a4–16.
  （2）原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
          =(x4–y4)(x4+y4)

        =x8–y8.
7. 解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
          =2x2–1.

      将x＝2代入上式，

     原式=2×22–1=7.

8.（1）1–xn+1 ；（2）①-63；②2n＋1–2；③x100–1.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.具备什么特征的式子才能运用平方差公式进行计算？

2.平方差公式中字母代表的意义是什么？

3. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

(a＋b)(a－b)＝a2－b2

（五）课前预习

预习下节课（14.2.2）的相关内容。

了解完全平方公式和添括号法则.

七、课后作业

1、教材108页练习1,2

2、如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分剪开,拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(　　)

A.(a-b)2=a2-2ab+b2

B.a(a-b)=a2-ab

C.(a-b)2=a2-b2

D.a2-b2=(a+b)(a-b)

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节的内容是平方差公式,主要观察是否符合公式特点,只有符合公式特点才能用公式直接求解,利用公式计算.在实施情境探究教学过程中,应注意让学生感知问题的生成、发展与变化,培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识.

2. 在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心.在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书，创设问题情境；(2)促进学生发展是活动的目的.数学教育要把以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点.因此，本节课组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等方面的进一步发展.