初中数学人教版八年级上册14.3.1 提公因式法复习练习题

第十四章   整式的乘法与因式分解

14.3 因式分解

14.3.1 提公因式法

一、教学目标

【知识与技能】

1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;

2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.

【过程与方法】

经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.

【情感、态度与价值观】

培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

因式分解的概念；提公因式法分解因式.

【教学难点】

正确理解因式分解的概念，准确找出公因式. 

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：直尺、练习本、铅笔、钢笔或圆珠笔.

六、教学过程

（一）导入新课

我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究提公因式法分解因式

教师问1：请同学们先完成下列计算，看谁算得又准又快.

(1)20×(－3)2＋60×(－3)；

(2)1012－992；

(3)572＋2×57×43＋432.

学生回答：如下：

解：方法一：(1)20×(－3)2＋60×(－3)=20×9-180=180-180=0；

(2)1012－992=10201-9801=400；

(3)572＋2×57×43＋432=3249+4902+1849=8151+1849=10000.

方法二：(1)20×(－3)2＋60×(－3)=-3×[20×(-3)+60]=1-3×[-60+60]=0；

(2)1012－992=（101+99）（101-99）=200×2=400；

(3)572＋2×57×43＋432=3（57+43）2=1002=10000.

教师问2：上边两种方法，哪一种简单呢？

学生回答：方法二简单.

教师讲解：在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形成，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.(板书课题)

教师问3：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？（出示课件4）

学生回答：方法一：m(a+b+c)；方法二：ma+mb+mc

教师问4：m(a+b+c)=ma+mb+mc是整式的乘法，那么ma+mb+mc=m(a+b+c)，你猜想是什么呢？

学生回答：因式分解.

教师问5：请同学们运用整式乘法法则或公式填空：（出示课件5）

(1) m(a+b+c)= ____________________ ；                

(2) (x+1)(x–1)=___________________；

(3) (a+b)2 = ______________________.

学生回答：

(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ；                

(2) (x+1)(x–1)=x2－1；

(3) (a+b)2 = a2+2ab+b2.

教师问6：根据等式的性质填空：

(1) ma+mb+mc=(      )(            )

(2) x2 –1 =(        )(          ) 

(3) a2 +2ab+b2 =(          )2

学生回答：(1) ma+mb+mc=( m)(  a+b+c )

(2) x2 –1 =( x+1)( x-1) 

(3) a2 +2ab+b2 =( a+b)2

教师问7：比一比，这些式子有什么共同点？

学生讨论后回答：左边是多项式，右边是多相式的乘积.

教师总结：（出示课件6）

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

教师问8：你认为因式分解与整式乘法有什么关系？（出示课件7）

学生思考回答，师生共同解答如下：

因式分解与整式乘法是互逆变形关系，整式乘法是一种运算，而因式分解是对多项式的一种变形，不是运算.

教师问9：x2–1 = (x+1)(x–1)有何特征呢？

学生回答：左边是多项式，右边是几个整式的乘积

例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)（出示课件8）

①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；

③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．

A．1个          B．2个           C．3个           D．4个

师生共同解答如下：

因式分解是积的形式，①是和的形式，所以不是因式分解，②是因式分解，③是整式的乘法，④是因式分解.故选B.

答案：B.

总结点拨：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．

教师问10：再观察下面问题中的第(1)题和第(3)题，你能发现什么特点？

(1)x2＋x＝________；

(2)x2－1＝________；

(3)am＋bm＋cm＝________.

学生独立思考后回答：发现(1)中各项都有一个相同的因式x，(3)中各项都有一个相同的因式m.

教师问11：观察下列多项式，它们有那些相同的因式？（出示课件10）

pa+pb+pc，x2＋x

学生回答：

前者的相同因式为p，后者的相同因式为x。

教师总结如下：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.

教师讲解：因为pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)，于是就把pa＋pb＋pc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式p，另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.（出示课件11）

教师问12：如何确定一个多项式的公因式？（出示课件12）

师生共同解答如下：

所以这个算式的公因式是3x.

教师问13：指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)ax＋ay＋a；　　　(2)3mx－6mx2；　　　(3)4a2＋10ah；

(4)x2y＋xy2；　　　(5)12xyz－9x2y2.

学生回答：（1）a；（2）3mx;(3)2a；（4）xy；（5）3xy

教师问14：请学生观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？

师生共同探究后解答如下：（出示课件13）

找出多项式的公因式的正确步骤：

1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 

例2：把下列各式分解因式.（出示课件15）

(1) 8a3b2 + 12ab3c；(2) 2a(b+c) – 3(b+c).

师生共同解答如下：

分析：提公因式法步骤(分两步)

      第一步:找出公因式；

      第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.

解：(1) 8a3b2 + 12ab3c（出示课件16）

=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc

=4ab2(2a2+3bc)；

思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.

(2) 2a(b+c)–3(b+c)

=(b+c)(2a–3).

思考：如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.

总结点拨：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.

方法总结：（出示课件21）

提取公因式分解因式的技巧：

①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；

⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.

例3：计算：（出示课件22）

(1)39×37–13×91；

(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.

师生共同解答如下：

解：(1)原式＝3×13×37–13×91

＝13×(3×37–91)

＝13×20＝260；

(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)

      ＝2016.

总结点拨：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

例4：已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．（出示课件24）

师生共同解答如下：

解：∵a＋b＝7，ab＝4，

∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.

总结点拨：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.

（三）课堂练习（出示课件27-31）

1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　)

A．5mn      B．5m2n2        C．5m2n          D ．5mn2

2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　)

A．x+1          B．2x         C．x+2             D．x+3

3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　)

A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz)   B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)

C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z)          D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)

4.把下列各式分解因式：

(1)分解因式：m2–3m=　                         　．

(2)12xyz–9x2y2=_____________；

(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________　．

(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；

(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.

5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.

6.简便计算：

(1) 1.992+1.99×0.01 ;                  (2)20132+2013–20142;

(3)(–2)101+(–2)100.

7.(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.

(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x=.

8.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．

参考答案：

1.C

2.D

3.B

4.（1）m(m–3)；（2）3xy(4z–3xy)；（3）(x+2)(x–1)；（4）–xy(x2y2+xy+1)；（5）(y–x)(2y–x)

5.3a(x–y)2

6.解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98；

(2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142

              =2013×2014 –20142=2014×(2013–2014)

              = –2014．

(3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.

7.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.

(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]

=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).

当x=时，原式=2×(2×+1)=4.

8.解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0，

(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，

∴a–c＝0或1＋2b＝0，

即a＝c或b＝–0.5(舍去)，

∴△ABC是等腰三角形．

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.举例说明什么是因式分解.

2.提公因式法分解因式如何确定公因式？要注意什么问题？

3.下一节我们将继续学习因式分解，你认为应怎样进行学习？

（五）课前预习

预习下节课（14.3.2）116页的相关内容。

知道利用平方差公式分解因式的方法.

七、课后作业

1、教材117页练习1,2

2、计算123×+268×+456×+521×.

八、板书设计：

九、教学反思：

本节的内容是因式分解的概念,以及提公因式,学生刚学要通过练习正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系,进一步讨论明确.因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而是一种变形的手段,是一种恒等变形,对于公因式的概念以及确定方法从小组探究、讨论找好确定方法,通过练习理解掌握.