初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时当堂达标检测题

第十四章  整式的乘法与因式分解

14.3 因式分解

14.3.2 公式法

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.

【过程与方法】

1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.

2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.

【情感、态度与价值观】

1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.

2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

运用完全平方公式法进行因式分解.

【教学难点】

观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.             

五、课前准备 

教师：课件、直尺、矩形图片等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。

六、教学过程

（一）导入新课

我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式

教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）

学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？

学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)

教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.

学生回答：

(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；

(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).

教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？

学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.

教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.

学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）

学生讨论后拼出下图：

教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？

学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2

教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？

学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2 （出示课件6）

教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）

(1)每个多项式有几项？

学生回答：三项

(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？

学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.

(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？

学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.

教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.

教师问9：把下列各式分解因式：

(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.

学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.

教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？

学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.

教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.

(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋b2；

(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.

学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2

(2)x2＋4x＋4y2；不是

(3)4a2＋2ab＋b2；是，原式=（2a+b）2

(4)a2－ab＋b2；不是

(5)x2－6x－9；不是

(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2

教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.

总结点拨：（出示课件8）

完全平方式: a²2ab+b²

完全平方式的特点：

1.必须是三项式(或可以看成三项的)；

    2.有两个同号的数或式的平方；

    3.中间有两底数之积的±2倍.      

    简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）

凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

    例1：分解因式：（出示课件12）

    (1)16x2+24x+9；                         (2)–x2+4xy–4y2.

师生共同解答如下：

（1）分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3²，24x=2·4x·3，

 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，

 即16x2 + 24x +9=  (4x)2+2·4x·3+ 32.

 解： (1)16x2+ 24x +9

= (4x)2 + 2·4x·3 + 32

= (4x + 3)2；

(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.

(2)–x2+ 4xy–4y2

=–(x2–4xy+4y2)

=–(x–2y)2.

例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是(       )（出示课件15）

     A . 11            B. 9         C.  –11         D.  –9

师生共同解答如下：

解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.

答案：B

总结点拨：（出示课件16）

本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．

    例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）

    (1)3ax2+6axy+3ay2 ；               (2)(a+b)2–12(a+b)+36.

    师生共同解答如下：

分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.

    解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)

         =3a(x+y)2；

     (2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62

       =(a+b–6)2.

总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）

例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21） 

       (1)1002–2×100×99+99²；

         (2)342＋34×32＋162.

    师生共同解答如下：

解：(1)原式=(100–99)²

=1

(2)原式＝(34＋16)2

＝2500.

总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.

例5：已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.（出示课件23）

师生共同解答如下：

分析：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.

（出示课件24）

解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0

      即(a+1)2+(b–2)2=0  

∴  2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7

总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．

（三）课堂练习（出示课件27-31）

1.下列四个多项式中，能因式分解的是(         )

  A．a2＋1                                         B．a2–6a＋9

  C．x2＋5y                                       D．x2–5y

  2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是(         )

  A．4xy(x–y)–x3         B．–x(x–2y)2

  C．x(4xy–4y2–x2)      D．–x(–4xy＋4y2＋x2)

  3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．

4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________  ．

5. 把下列多项式因式分解.

     (1)x2–12x+36;                      (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;

     (3) y2+2y+1–x2;        

    6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.

    （2）20142-2014×4026+20132

    7. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)x2–2x＋3.

    小聪和小明的解答过程如下：

他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.

8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；

(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．

参考答案：

1.B

2.B

3.1

4. ±4

5. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;

(2)原式=[2(2a+b)]² – 2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b– 1)2;

(3)原式=(y+1)² –x²=(y+1+x)(y+1–x).

6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2

             ＝100.

(2)原式=20142-2×2014×2013+20132

      =（2014-2013）2

      =1

7. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2

(2)原式＝    (x2–6x＋9)＝  (x–3)2

8. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.

      当a–b＝3时，原式＝32＝9.

(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.

当ab＝2，a＋b＝5时，

原式＝2×52＝50.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

a2±2ab＋b2＝(a±b)2

一提，二看，三检查。

（五）课前预习

预习下节课（15.1.1）的相关内容。

知道分式的定义，了解分式有意义、分式无意义，分式的值为零的条件.

七、课后作业

1、教材119页练习1,2

2、下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.

[解析]　设x2-4x=y,

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(x2-4x+4)2(第四步)

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　　　. 

A.提取公因式

B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式

(2)该同学因式分解的结果是否彻底?　　　　.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果　　　　. 

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.

八、板书设计：

九、教学反思：

1. 本节课应强调完全平方式标准模式的书写,这也是学生思维过程的暴露,有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握,提高学生解题的准确率;先引导学生分析多项式特点,再让学生尝试分解因式的方式完成例题教学.

2将乘法公式反过来就得到多项式的因式分解，看似很简单的问题，对初学因式分解的学生来说，存在以下三方面的问题：①不知道用哪一个公式；②不懂得如何套用公式；③当公式中的字母a，b为多项式时，因结构复杂不知从何入手.解决这些问题可采取以下策略：①让学生掌握多项式因式分解公式并熟记这些公式；②从多项式的项数入手，分辨用哪一个公式，如果多项式是两项式，那么考虑用平方差公式，如果多项式是三项式，那么考虑用完全平方公式..