2023年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

2023年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  疫情以后，为了保证大家的健康，学校对所有进入校园的师生进行体温检测，其中名学生的体温单位：如下：，，，，，，这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  今年月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批个重大项目开工活动，预计本年度计划投资约亿元，以高质量投资助力高质量发展亿用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是(    )

A. 三角形
B. 正方形
C. 六边形
D. 七边形

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一副三角形板如图放置，，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知现按如下步骤作图：以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于，；分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；以为圆心，长为半径画弧，交于点；以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；作射线交于点若测得，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是(    )

A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根

10.  如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为______ ．
 

12.  一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式        ．

13.  如图，经过的圆心，与相切于点，若，则______度．
 

14.  如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，点坐标为，且，反比例函数经过点，则的值为        ．

15.  如图，等边三角形边长为，点在边上，且，点在边上且，连接，交于点，在线段上截取，连接，则线段的最小值是        ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
直接写出结果．
计算：        ．
利用中的结论化简．

18.  本小题分
为调查某校关于国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”的落实情况，某部门就“每天在校体育活动时间”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
每天在校体育活动时间频数分布表

请根据以上图表信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______人，______，组所在扇形的圆心角的大小是______；
若该校约有名学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数．

19.  本小题分
“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用元和元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜元．
求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
该商场经过调查发现，型护眼灯售价为元时，可以卖出台每涨价元，则每天少售出台求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？

20.  本小题分
如图，纸片中，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为        从以下选项中选取
A.正方形
B.菱形
C.矩形
如图，在中的四边形纸片中，在上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
求证：四边形是菱形；
连接，求的值．
 

21.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

求抛物线的解析式；
如图，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

22.  本小题分
在正方形中，点是对角线上的动点与点，不重合，连接．

将射线绕点顺时针旋转，交直线于点．
依题意补全图；
小深通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系：
与的平方和等于的平方小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证，，的关系，只需证，，的关系．
想法：将沿翻折，得到，要证，，的关系，只需证，，的关系．

请你参考上面的想法，用等式表示线段，，的数量关系并证明；一种方法即可
如图，若将直线绕点顺时针旋转，交直线于点若正方形边长为，：：，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，，
排在最中间的数是，故中位数为，
故选：．
根据中位数的意义求解即可．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形．
故选：．
正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况．
本题考查了截一个几何体，掌握正方体的截面形状是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C符合题意；

，
选项D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：底数，因为不能做除数；单独的一个字母，其指数是，而不是；应用同底数幂除法的法则时，底数可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
 

7.【答案】 

【解析】解：中，，
，
，，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到，据此可得的度数．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：由尺规作图可知，平分，，
，
，
过点作于点，过点作于点，
，
在中，
，
，
，
即点到的距离为．
故选：．
由尺规作图可知，平分，，可得，，过点作于点，过点作于点，在中，可得，则，即可得出答案．
本题考查作图基本作图，熟练掌握角平分的作图方法以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程变形为，
，
把解方程理解为求反比例函数图象与抛物线的交点的横坐标，
反比例函数图象分布在第一、三象限，在第一象限，抛物线的顶点在反比例函数图象上方，且抛物线的开口向下，如图，
反比例函数图象与抛物线有个交点，
原方程有个实数解．
故选：．
先把原方程变形为，则可把解方程理解为求反比例函数图象与抛物线的交点的横坐标，利用反比例函数的性质和二次函数的性质确定它们的交点个数即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了反比例函数与二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

点在以为圆心的弧上，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，，
≌，
，
，
在中，，
，
或舍去，
故选：．
连接，过点作于点，根据正方形的性质及圆的有关性质推出，，，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求解即可．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将代入得：


．
故答案为：．
将按照计算程序代入计算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的程序框图是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
是二次二项式，
符合题意．
故答案为：．
根据因式分解的定义解决此题．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由与相切于点，根据切线的性质，即可得，又由，即可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【解答】
解：连接，

与相切于点，

，
即，
，
，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：连接，作于，

，
，
是斜边上的中点，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数经过点，
，
故答案为：．
连接，作于，易证得，，解直角三角形求得，然后根据三角形相似证得，即可得到，利用勾股定理求得的坐标，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，取的中点，连接，

≌，
，即点为的中点，
是等边三角形，
，即，
点在以为直径的圆上运动，
当、、三点共线时，有最小值，
是等边三角形，是的中点，
，，
，
．
故答案为：．
如图所示，连接，取的中点，连接，由全等三鱼形的性质得到，即点为的中点，则，推出点在以为直径的圆上运动，故当、、三点共线时，有最小值，求出，则．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定以及最值问题，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：；





．
利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答；
先计算分式的除法，再利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：组有人，占，
总人数为人，
，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，，；
人．
答：估计其中达到国家规定体育活动时间的学生有人．
根据组的人数和百分比即可求出总人数，即可得的值，算出组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
求出达到国家规定体育活动时间的学生的百分比，计算即可．
本题考查扇形统计图，频率分布表等知识，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

19.【答案】解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元；
设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
答：每台型护眼灯升价元时，销售利润最大． 

【解析】设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据用元和元购进型和型护眼灯的数量相同列出方程，解方程即可，注意验根；
设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据利润售价成本销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数解析式．
本题考查了分式方程和一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的数量关系，列方程或函数解析式，分式方程要注意检验．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，纸片▱中，，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为矩形，
故选：；
证明：纸片▱中，，，，
，
．
如图：
，
，将它平移至，
，，
四边形是平行四边形．
在中，由勾股定理，得
，
，
四边形是菱形；
解：连接，，如图：

在中，，
，
在中，，
．
根据矩形的判定，可得答案；
根据菱形的判定，可得答案；
根据勾股定理，可得答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定，矩形的判定，图形的剪拼等知识，利用了矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
过作轴交于，如图：

在中，令得，
，
由，得直线解析式为，
设，
在中，令得，
，
，
轴，
，，
∽，
，
，，，
，
解得或，
或；
抛物线上存在点，使得，理由如下：
过作，交轴于，交抛物线于，作关于轴的对称点，连接并延长交抛物线于，如图：

，
，时满足条件的点，
由直线解析式为，设直线解析式为，
把代入得：，
解得，
直线解析式为，
联立，
解得或，
；
在中，令得，
，
与关于轴对称，
，，是满足条件的点，
由，得直线解析式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，的坐标为或． 

【解析】把，代入，用待定系数法可得抛物线的解析式为；
过作轴交于，由，得直线解析式为，设，可得，根据∽，有，即可解得答案；
过作，交轴于，交抛物线于，作关于轴的对称点，连接并延长交抛物线于，设直线解析式为，把代入知直线解析式为，联立，解得；根据与关于轴对称，得，，是满足条件的点，求得直线解析式为，联立，可解得．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，平行线性质，对称等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

22.【答案】解：补全图形，如图所示：
；理由如下：
过作，使，连接、，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
；

过作，使，连接、、，
直线绕点顺时针旋转，交直线于点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
，，
，
：：，
，，
，
． 

【解析】根据题意补全图形即可；
过作，使，连接、，由正方形的性质得出，，，由证明≌，得出，证出，由证明≌，得出，，证出，在中，由勾股定理即可得出结论；
过作，使，连接、、，由证得：≌，得出，再由证得：≌，得出，，证出，得出，在中，由勾股定理即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．