2023年湖北省武汉市武昌区部分学校中考数学调研试卷（3月份）（含答案）

2023年湖北省武汉市武昌区部分学校中考数学调研试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列成语描述的事件是随机事件的是(    )

A. 种瓜得瓜 B. 海市蜃楼 C. 画饼充饥 D. 海枯石烂

3.  下面是个能完全重合的正六边形，请仔细观察、、、四个图案，其中与所给图形不相同的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  武汉市推出上网课包月制，每月收取上网课费用单位：元与上网时间单位：小时的函数关系如图所示若小明三月份在家上网课的费用为元，则他三月份在家上网课的时间为(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

8.  已知三点，和都在反比例函数的图象上，若，则，和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为和，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算：的结果为______．

12.  每年的月日是“世界读书日”某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了名学生的读书数量，统计数据如表所示．

在这组统计数据中，若将这名学生读书册数的众数记为，中位数记为，则        ．

13.  计算______．

14.  热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为，这栋高楼高______ 结果保留根号．

15.  如图，已知抛物线为常数，且经过点和下列四个结论：
；
；
；
无论，，取何值，抛物线一定经过定点．
其中正确的结论是        填序号．

16.  如图，在中，，为三角形内一点，若，，，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组，请按下列步骤完成解答．
解不等式，得        ；
解不等式，得        ；
将不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为        ．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点．
求证：；
若，求的度数．

19.  本小题分
某学校为了解九年级男同学米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为，，，四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．

表中        ，        ；
扇形图中的圆心角的度数是        ；
若该校九年级男生共人，请估计没有获得等级男生的人数．

20.  本小题分
如图，已知是的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点．
求证：平分；
若的半径为，，求劣弧的长度．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点已知的圆心在格点上，圆上，两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，点在圆上，请在直径下方的圆上画出点，使；并在网格中找点，使为等腰直角三角形，且．
在图中，为格点，在直径下方的圆上画出点，使得；并在线段上画出点，使得．
 

22.  本小题分
某超市销售一种成本为元千克的食品，第天的销售价格为元千克，销售量为千克，如表是整理后的部分数据．

直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式        不要求写出自变量的取值范围．
当时，求第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
如果该超市把销售价格在当天的基础上提高元千克原销售量不变，那么前天包含第天每天的销售利润随的增大而增大，请直接写出的取值范围        ．

23.  本小题分
【问题背景】如图，点，，在同一直线上，，求证：∽；
【问题探究】在条件下，若点为的中点，求证：；
【拓展运用】如图，在中，，点是的内心、若，，则的长为        ．
 

24.  本小题分
如图，抛物线交轴于点，点在点左侧，交轴于点，且，点为抛物线上第四象限的动点．
求抛物线的解析式．
如图，直线交于点，连接，，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．
如图，直线交抛物线的对称轴于点，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，当点运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
 

2.【答案】 

【解析】解：、种瓜得瓜，是必然事件，本选项不符合题意；
B、海市蜃楼，是随机事件，本选项符合题意；
C、画饼充饥，是不可能事件，本选项不符合题意；
D、海枯石烂，是不可能事件，本选项不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，
只有选项B中的图形旋转后与图中的正六边形不相同．
故选B．
将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形不相同的即为所求．
此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，关键是掌握旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】
解：从上边看是一个长方形，长方形的中间是一个圆，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：设三把锁分别为，，，相应的钥匙分别为，，，第四把钥匙为．

共有种等可能情况，一次打开锁的情况数有种，
所以一次打开锁的概率是，
故选：．
列举出所有情况，看任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的情况数占总情况数的多少即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

7.【答案】 

【解析】解：超出小时的上网课费用为元时，
他家三月份上网时间为：小时．
故选：．
根据题意可知，当时，上网课费用为元，超出小时的上网课费用为元时，据此计算即可．
本题考查了函数图象，关键是理解函数图象的横纵坐标表示的含义．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，图象位于一、三象限，
，
点，在第三象限，
；
，
点在第一象限，
，
，
故选：．
根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：时，图象位于一、三象限是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设正方形的边长为，
，，
，，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
，，
，，
，
故选：．
设正方形的边长为，可证明两个小正方形的边长分别为和，则两个小正方形的面积分别为，，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的面积公式等知识，正确地作含同一字母的代数式表示两个小正方形的面积和是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，当点落在上时，．

，，
，
，
，
．
当点落在上时，连接，，，，过点作于点，于点，

，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，，
≌，
，
设，则．
，
，
，
观察图象可知：点落在扇形内不含边界，则．
故选：．
求出两种特殊位置：当点落在上时，当点落在上时，的值，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：的结果为．
故答案为：．
根据算术平方根的定义即可求解．
考查了算术平方根，非负数的算术平方根有双重非负性：被开方数是非负数；算术平方根本身是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数为，
．
故答案为：．
在这组样本数据中，出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，从而求出中位数是，再代入计算即可．
本题考查了众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念．
 

13.【答案】 

【解析】解：
，
故答案为：．
先通分，再加减，最后再约分，即可得出结论．
此题主要考查了分式的加减，通分，约分，分解因式，找出最简公分母是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作，垂足为，如图所示：
在中，
，，
，
在中，
，，
，

即这栋楼高为
故答案为：．
过作，垂足为，在直角与直角中，根据三角函数即可求得和，即可求解．
本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴交在正半轴上，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故正确；
抛物线为常数，经过点，
，
，
，
故错误；
由对称得：抛物线与轴另一交点为，
，
，
，
当，无论，取何值，抛物线一定经过，
故正确；
故答案为：．
由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，判断，与的关系，根据抛物线与轴交点的位置确定与的关系，从而得到，即可判断；
根据抛物线对称轴方程可得，即可判断；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断；
先根据和得，再根据对称性可知：抛物线过，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点顺时针旋转得，连接，

，，，
，
．
，，
过点作于，过点作于，

，，
，，
，
，
，
设，
，，
，，，
在中，，
，解得负值舍去，
，
故答案为：．
由已知可得，将绕点顺时针旋转得，连接，可得则，，过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形以及含角的直角三角形的性质可得，，设，则，，，在中，利用勾股定理求出，即可得的长．
本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
将不等式和的解集在数轴上表示如图所示：

原不等式组的解集为；
故答案为：；
；
．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
解：平分，

，
，
，，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，则，再由角平分线定义得，则，即可得出结论；
证，再由，，得，则，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：抽取的学生数是：人，故；
；
故答案为：，；
扇形图中的圆心角度数是：；
故答案为：；
人，
答：估计没有获得等级男生的人数大约为人．
根据等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出即可；
用乘以等级的人数所占的百分比即可得出答案；
用该校的男生人数乘以没有获得等级的学生所占的百分比即可．
本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．
 

20.【答案】证明：连接，
是的切线，
半径，
，
，
．
，
，
，
平分．
解：连接，交于点，连接．
是的直径，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长 

【解析】连接，由切线的性质推出，得到，由，得到，得到，即可证明问题；
连接，交于点，连接，推出四边形为矩形，得到，由，推出，求出，得到，由弧长计算公式即可求解．
本题考查切线的性质，弧长的计算，圆周角定理，平行线的性质，矩形的判定和性质，关键是通过作辅助线综合应用以上知识点．
 

21.【答案】解：如图中，点，点即为所求；
如图中，点，点即为所求．
 

【解析】在直线的下方取一点，使得，作直径，连接，延长交的延长线于点，点，点即为所求；
构造平行四边形，连接交于点，连接交于点，点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】，   

【解析】解：设，，
，，
解得，；
，；
故答案为：，；
设最大利润为元，
由题意得


，
，抛物线开口向下，对称轴，
当时，随增大而减小，
当时，有最大值，最大值为元．
答：第天的销售利润最大，最大利润为元；
由题可知，

．
对称轴，
，
解得．
故答案为：．
设，，将表格中的数据分别代入解析式，解方程即可得出结论；
设最大利润为元，由题意得，再利用二次函数的性质即可得出结论；
由题可知，，利用二次函数的性质可知，，解之即可得出结论．
本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
 

23.【答案】 

【解析】证明：，，
，
，
∽；
证明：∽，
，
，
又，
∽，
，
；
解：如图所示，过点作交于点，交于点，

点是的内心，
，
，，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，，
，，
，
为直角三角形，
，
故答案为：．
根据三角形外角的性质得，即可证明结论；
由∽，得，可说明∽，进而证明结论成立；
过点作交于点，交于点，可知是等腰直角三角形，再说明∽，可得和的长，最后利用勾股定理求出的长．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
 

24.【答案】解：由二次函数，
令，则，
．
又，
，，代入得：

即，
解得：
；

由题意得：．
，为定值，
当达到最大值时，的值最小．
即点为抛物线的顶点时，达到最大值．
又，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
直线的表达式为：；

不变，理由：
，，且．
设：，：，：，
则，．
将直线，与抛物线联立，得，
又，
，
同理，
即，
，
则． 

【解析】由待定系数法即可求解；
由题意得：而，为定值，故点为抛物线的顶点时，达到最大值，符合题设要求，进而求解；
求出，，得到，同理，进而求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，图形面积的计算，解本题的关键是确定确定出直线解析式．