2022上海市七宝中学高一下学期开学摸底测试数学试题含解析

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2022学年第二学期高一开学测试数学试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分､第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 角是第二象限角，，则___________.【答案】##【解析】【分析】依题意，求出，利用正弦二倍角公式求解即可.【详解】因为角是第二象限角，，所以，所以，故答案为：.2. 经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角.【答案】【解析】【分析】由角的定义和弧度制的定义即可求得答案.【详解】根据题意，分针转过的弧度为.故答案为：.3. 已知，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，，利用诱导公式可求解.【详解】依题意，.故答案为：4. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为___________.【答案】【解析】【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.【详解】依题意，扇形的半径，所以扇形的面积，故答案为：.5. 化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.【答案】1【解析】【详解】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.6. 把化为，的形式：________【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式将转化为即可.【详解】因为，所以形式即为.故答案为：.【点睛】本题考查辅助角公式的简单应用，难度较易.注意.7. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则___________.【答案】【解析】【分析】根据，由正弦定理得到，再由，得到，然后由二倍角公式求解.【详解】解：因为，所以由正弦定理得：，即，因为，所以，即，所以，故答案为：8. 方程在内的解集是___________.【答案】【解析】【分析】首先求的范围，再解方程.【详解】，，，得或，解得：或，所以方程的解集是.故答案为：9. 在锐角中，，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意有，进而展开并结合降幂公式和辅助角公式化简，然后根据该三角形为锐角三角形确定出A的范围，最后求得答案.【详解】根据题意，而三角形ABC为锐角三角形，则，所以，于是.故答案为：.10. 已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为______．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数， ∴考点：同角三角函数关系，消参数11. 在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】，即由三角函数定义知=.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.12. 在中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，则：①若，则在R上是增函数；②若，则是直角三角形；③的最小值为；④若，则；⑤若，则，其中错误命题的序号是___________.【答案】③⑤【解析】【分析】①由正弦定理即可判断；②由余弦定理可得，可得；③由辅助角公式可得，由C的范围即可求其范围和最值；④由可得sinA＝sinB，从而可得；⑤展开变形可得，可得，进而可得可求A＋B．【详解】①由正弦定理知，等价于，，在R上是增函数，故①正确；②由余弦定理可得，∵，∴，即，故是直角三角形，故②正确；③，，，，，故没有最小值，故③错误；④，.故④正确；⑤展开可得，即，，∵A＋B＋C＝π，A、B、C，∴A＋B，，故⑤错误；故答案为：③⑤．二､选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据角的范围以及平方关系求出，再利用商数关系求出，最后由两角差的正切公式可得答案.【详解】因为，，所以，.故选：D.【点睛】本题主要考查平方关系、商数关系以及两角差的正切公式，属于基础题.14. 在ABC中，．则取值范围是（ ）A. （0，] B. [，） C. （0，] D. [，）【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.考点：三角形中正余弦定理的运用.15. 设，的范围是D，则函数的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】令，，结合同角平方关系和两角和的正弦公式得到：，由三角函数的值域即可得到范围；利用换元法令得到，结合基本不等式得到最大值，利用对数函数的单调性得到其最小值.【详解】令，，则得：，则.即，解得；所以取值范围为， 则，；令，则，；所以，当且仅当即时等号成立，此时又因函数在定义域内单调递减；所以，综上，当时，取得最小值，故答案为：B.【点睛】本题对于，的处理平方相加，再结合平方关系和两角和的正弦公式进行化简；其次，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16. 已知函数，给出下列命题：①存在实数a，使得函数为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数关于对称；③若对任意非零实数a，都成立，则实数k的取值范围为；④存在实数k，使得函数对任意非零实数a均存在6个零点.其中的正确的选项是（    ）A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可判断①；验证，可判定②；利用基本不等式可判定③；当时，分析出函数在上现递减再递增，即，可得出，利用不恒成立，可判定④，同理可得，当时，命题④也不成立，从而得到④的真假.【详解】由题意，令，函数的定义域为，则，所以函数为偶函数.对于①，若，则 ，则，此时函数不是奇函数；若，则函数的定义域为且，，，显然，综上所述，对任意的，函数都不是奇函数，故①错误；对于②，，所以，函数关于直线对称，因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，所以②正确；对于③，，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，所以，因为，当时，，当时，，两个等号可以同时成立，所以.因此，实数的取值范围是，③正确；对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有6个交点，若，当时， ，此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，当时，；当时，任取，且，即，则 ，因为，随着的增大而增大，当且时，，当且时，，所以，使得当时，，则，所以，函数在区间上单调递减；当时，，则，所以，函数在区间上单调递增，所以，当时，.若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，即直线与函数的图象有6个交点，由于函数的图象关于直线对称，则直线与函数在直线右侧的图象有3个交点，所以，.由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，所以不可能恒成立，所以当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数 均存在6个零点；同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，故命题④错误.故选：A.三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （1）已知，，，求.（2）化简：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，进而得到，然后求出，最后根据求出答案；（2）将分子化简为，然后结合二倍角公式和诱导公式即可化简.【详解】（1）由题意，，而，则，而，解得：.又因为，则，而，所以，故.所以.（2）原式.18. 已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）由，得，即，则，求得．，；（2）．，，，当时，，当时，．故的最大值为，最小值为．【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.19. 某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米.
 （1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值；（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值.【答案】（1），平方米；    （2）（其中是满足的锐角），米.【解析】【分析】（1）因为，则可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面积的最大值；（2）设等边三角形边长为，在中，由正弦定理可得（其中是满足的锐角），即可求得的周长及其最小值．【小问1详解】在中，，米，米，所以，，因为，，所以，在中，因为，则，故，所以在中，，所以，由基本不等式得，，当且仅当，即时，等号成立，的面积有最大值平方米；【小问2详解】设正的边长为，因为，则，，在中，，，因为为平角，所以，所以，所以在中，，整理得（其中是满足的锐角），所以的周长，当时，的周长有最小值米.20. 在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点（1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标；（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求值；（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）。【解析】【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标；（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值；（3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果．【详解】（1）设点在角的终边上，又，则，所以点在角的终边上，且，所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为.（2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，∴，且，求得，则，，则．（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，不妨假设在第一象限，则在第二象限，根据题意可得，且，∴，，∴，即，平方可得，，当且仅当时，取等号．∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为．21. 已知函数，其中.（1）当函数为偶函数时，求m的值；（2）若，函数，，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（3）设函数，，若对每一个不小于3的实数，都有小于3的实数，使得成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由可得m的值；（2）当时，，令，则，分类讨论求出的最小值，列方程即可求解；（3）将题目的条件转化为：对于任意一条直线，如果与图象中满足的部分图象有交点，则必然与的图象中满足的部分图象也有交点，分四种情况讨论即可得实数m的取值范围.【详解】（1）当函数为偶函数时，，所以，解得：，经检验，符合，故；（2）当时，，令，则，当即时，上单调递增，所以，解得：，符合；当即时，无解；当即时，上单调递减，所以，解得：，应舍去；综上，；（3），将题目的条件转化为：对于任意一条直线，如果与图象中满足的部分图象有交点，则必然与的图象中满足的部分图象也有交点.当时，是单调递增的，所以当时，是单调函数，分四种情况讨论：①当时，在上符号是负，而在上符号是正的，所以不满足题目的条件；②当时，当时，，而当时，，所以也不符合条件；③当时，要满足条件只需即，所以；④当时，要满足条件只需即，即，令，因为在上单调递增，且，所以解得，所以，