2023盐城阜宁中学高一下学期第一次综合测试数学含解析

2023年春学期高一年级综合测试

数 学 试 题

命题人：    时间：120分钟        分值：150分

一、单选题(共40分)

1. 在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

2. 已知，均为单位向量，它们夹角为，则（    ）

A.  B.  C.  D. 13

3. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

4. 已知，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 在中，“是钝角三角形”是“”（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 在中，有，则的最大值是（    ）

A  B.  C.  D.

7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 自平面上一点引两条射线，，点在上运动，点在上运动且保持为定值（点，不与点重合），已知，，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

二、多选题(共20分)

9. 已知向量，，则（    ）

A.

B. 向量在向量上的投影向量是

C.

D. 与向量共线的单位向量是，

10. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（    ）

A. 若，则△ABC一定是等边三角形

B. 若，则△ABC一定是等腰三角形

C. 是成立的充要条件

D. 若，则△ABC一定是锐角三角形

11. 设z为复数，则下列命题中正确的是（　　）

A.

B. z2＝|z|2

C. 若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2

D. 若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2

12. 已知均为第二象限角，且，则可能存在（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题(共20分)

13. 已知非零实数，满足关系式，则的值是______．

14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.

15. 在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________

16. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.

四、解答题(共70分)

17. 平面内给定三个向量，，.

（1）求；

（2）求；

（3）若，求实数k.

18. 已知

（1）求的值；

（2）已知，，，求的值.

19. 已知的顶点坐标分别为.若虚数是实系数一元二次方程的根，

（1）求点A､C的坐标；

（2）若是钝角，求b的取值范围.

20. 在中，记角的对边分别为，已知，且，点在线段上.

（1）若，求长；

（2）若面积为，求的值.

21. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

22. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.

（1）求中线的长度；

（2）设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.