专题11：三角函数综合培优【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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【2021中科大5】求函数的取值范围．
2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ）
A. B.
C. D. ，，成等差数列
3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（ ）
A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数
C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心
二、知识要点拓展
一． 两角和、差的三角公式：
1.正弦：
2.余弦：
3.正切：
二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
，
三．二倍角公式：
1.余弦：
2.正弦：、 （3）正切：
四．辅助角公式：
►注意：有实数解
五．半角公式（万能公式）：
六．正弦定理： （为三角形外接圆的半径）
七．余弦定理：
八．三角形面积公式：
三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：
三倍角公式：
，

，
。
►注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，
，。显然，（舍去负根）。
常见三角不等式：
1.若，则；
2.若，则.
3..
三．和差化积与积化和差公式：
四．三角形中的一些三角恒等式：在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。
►注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
五．三角恒等式：
三、典例讲解
例1．（清华）函数的值域是 。
例2．（复旦）在中，，求。
例3．（北京）求使得在有唯一解的。
例4．（北京）的三边满足，为的内角。求证：。
例5．（清华）、、为的内角，且不为直角三角形。
求证：；
当，且的倒数成等差数列时，求的值。
例6．的三个内角成等差数列，求证：．
例7．在中，猜想的最大值，并证明之。
例8．（清华）求的值。
例9．（上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：
最大角是最小角的两倍；
最大角是最小角的三倍；
若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。
四、真题训练
1.（复旦）已知，则（ ）。
（B） （C） （D）
2.（复旦）已知函数，其中x为实数且k为整数，在的最小正周期是（ ）
（B） （C） （D）
3.（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能达到的最小值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4.（复旦）已知是关于x的方程的两个根，这里，则（ ）
（B） （C） （D）
5.（武大）如果，那么的取值范围是（ ）。
（B） （C） （D）
6.（复旦）设。且满足，则的取值范围是（ ）
（B） （C） （D）
7.（上海交大）若，则 。
8.（南大） 。
9.（复旦）设，设，若存在，使恒成立，在的范围为 。
10.（南开）实数A、B、C满足，，求证：。
11.（复旦）在中，，AD是A的角平分线，且。
求k的取值范围；
若，问k为何值时，BC最短？
12.（五校联考）中，，求。
训练
1. 三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．
2. 已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．
3. 在非直角中，边长满足．
证明：；
是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
4. 设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证：
（１）；
（２）；
（３）．
5. 在非钝角中，，分别是的外心和内心，且，求．
和差化积
积化和差