专题16：解析几何二【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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1.【2020复旦大学1】设抛物线，过焦点作直线，交抛物线于，两点，满足．过点作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交轴于点，若，则 _______________．
2.【2020武汉大学10】 已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）
A. B. C. D.
3.【2021复旦大学10】已知，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，延长到点，满足．的中点为，则下列两个结论是否正确：
结论1：；结论2：为椭圆的切线．
答：结论2正确
二、知识要点拓展
椭圆中的经典结论：
点在椭圆上上，则过的椭圆的切线方程是．
点在椭圆上外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是．
椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，，则椭圆的焦点三角形的面积为．
双曲线中的经典结论：
点在双曲线上（）上，则过的双曲线的切线方程是
．
2点在双曲线上（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是．
3.双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上一点，，则双曲线的焦点三角形的面积为．
三．抛物线：
1.过抛物线的焦点的一条弦 , 记准线与轴交点为，分别交轴于两点，则：
端点坐标积恒定：过抛物线的焦点的直线，交抛物线于 ，则：(1)， ； (2) 。
共线： 过抛物线的焦点的直线，交抛物线于两点，如图示，有下列三个结论：
（1）三点共线 ．
（2）三点共线．
（3）设直线与抛物线的准线的交点为，则平行于轴．
（4）设直线与抛物线的准线的交点为，则平行于轴．
【知识拓展】
一．圆锥曲线和直线的参数方程
1.圆的参数方程是其中是参数。
2.椭圆的参数方程是其中是参数，称为离心角。
3.双曲线的参数方程是其中是参数。
4.抛物线的参数方程是其中是参数。
5.过定点，倾斜角为的直线参数方程为为参数。
这里参数的几何意义是：①表示直线上的点和定点的距离；②当点
在点的上方时，，当点在点的下方时，；当点与点
重合时，，反之亦然。
二．圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为，其中为离心率，是焦点到相应准线的距离。
三．焦半径公式
设为圆锥曲线上任一点，分别为点到焦点及相应准线的距离，则．
1.对于椭圆，、是它的两个焦点．设是椭圆上的任一点，则有，．
►解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标（对是纵坐标）的一次函数．
►（扩充）：焦半径公式的另一种形式()为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)．
2.对于双曲线（），、是它的两个焦点．设是双曲线上的任一点，若点在双曲线的右支上，则有，；若点在双曲线的左支上，则有，．
►（扩充）：焦半径公式的另一种形式(（）)为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)．
►注意：当时，点在右支上，当时，点在左支上．
3.对于抛物线（），是它的焦点，设是抛物线上的任一点，则．设，则．
四．共轭直径
二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径．
1.设椭圆的方程为，互为共轭直径的斜率关系为；
2.设双曲线的方程为（），互为共轭直径的斜率关系为；
3.设抛物线的方程为（），一组斜率为的平行弦的中点轨迹为射线．
五．过焦点的弦
1.设椭圆的方程为，过的弦长为，过的弦长为．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数．
►（扩充）：焦点弦长的另一种形式为．(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)．
2.设双曲线的方程为（），过的弦长为，过的弦长为．
►（扩充）：焦点弦长的另一种形式为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)．
3.设抛物线的方程为（），，设，则焦点弦长为．
六．双曲线的渐近线
1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线，使得与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线的一条渐近线．双曲线的渐近线方程为，即．
2.共轭双曲线的方程为，共渐近线的双曲线系方程：．
互为共轭的两条双曲线有以下性质：
①时得焦点在轴上的双曲线；时得焦点在轴上的双曲线；时即是双曲线的渐近线；
②两共轭的双曲线的离心率满足；
③它们的四个焦点在同一个圆上．
三、典例精讲
例1．（复旦）已知抛物线的顶点在原点，焦点在上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若边所在直线的方程为，则抛物线方程为（ ）
（B） （C） （D）

►分析与解答：如图，可令方程为。
设。
。
所以，
，依题意，

①
②
③
④
所以
由①、③，代入④中，。
另一方面，由①、②。
所以（舍去）。
所以抛物线方程为。
例2．（同济）已知抛物线。
过焦点的直线斜率为，交抛物线于，求；
是否存在正方形，使在抛物线上，在抛物线内？若存在，求这样的满足的方程。
►分析与解答：
（1）直线方程是，设。依抛物线定义知
。
又，
由韦达定理知， ，
故 。
先设，如图13-11，令，则。又，故
，即。
又，且
。
所以，
即。①
另一方面，将代入中，有（这里利用求根公式取“-”号根）。②
由①②知，化简得。
同理，时，求得方程为。
综上，这样的k满足方程。
注：①笔者对原题作了简单改动，原问题所问的是“正方形ABCD有什么特点。”
②此问题有相当难度，尤其是对代数功夫要求较高。

图13-11
例3．（清华）双曲线，是左、右焦点，是右支上的任一点，且，。
求离心率；
若为双曲线左顶点，为右支上任一点，且恒成立？
►分析与解答：
（1）在中，由余弦定理，，
。
。所以。所以，双曲线方程：。
先设轴。此时，为等腰，。
下证。令。，
，
。所以存在常数，使
恒成立。
►注：设P是双曲线（或椭圆）上一点，（分别是左、右焦点），则。
例4．（武大）如图，过抛物线
上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物
线交于两点。
求直线的斜率；
如果两点均在上，求
面积的最大值。
►分析与解答：（1）不妨设，则
。同理，。
依题意，。于是
的直线方程为：，即。P到AB的距离
。由（1）知，故
。
所以

。
又由，且，知。令，则，所以
。
注意到是一个偶函数，故只考虑的情况。此时记，对求导，，，故在上是严格单调递增的函数，从而，即。
例5．（北大）已知是平面上两定圆，另有一动圆C与均相切，问圆心C的轨迹是何种曲线？说明理由。
►分析与解答：设半径分别为，由圆锥曲线定义，可得下列结论：
时，
①与相离：圆心C的轨迹是直线（的中垂线）及双曲线（与一个内切，另一个外切）；
②与相交：圆心C的轨迹是直线（去掉两个点）（与都外切或都内切）及椭圆（与一个内切一个外切）；
③与相外切：圆心C的轨迹是直线去掉切点（包括C与，都外切或都内切或一个外切，另一个内切）
时，
①与外离：圆心C的轨迹是双曲线（C与都外切或与中一个内切一个外切）；
②与相交：圆心C的轨迹是双曲线（C与都内切或都外切）及椭圆去掉两个点（C与一个内切，一个外切）；
③与外切：圆心C的轨迹是双曲线（C与都外切）及直线去掉切点（C与一个内切，一个外切）；
④与内切：圆心C的轨迹是直线去掉切点及与（C与都外切或都内切）及椭圆去掉切点（C与一个内切一个外切）；
⑤与内含：圆心C的轨迹是椭圆（不是同心圆，C与一个内切，一个外切）及圆（是同心圆，C与一个内切一个外切）。
例6.（复旦）已知道平面上的线段及点，任取上的一点，线段的最小值成为点到线段的距离，记作。
（1）、求点到线段：的距离；
（2）、设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；
（3）、写出到两条线段、距离相等的点的集合，其中；A，B，C，D是下列三组中的一组。
对于下列三中情形，只需选做一种，满分分别为①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分。
①
②
③
►分析与解答：
、如图1所示，由图可知，显然在线段的端点处取得最小值，故最小距离为：

、如图2所示，D是边长为2的正方形和半径为1的两个半圆构成的区域，故面积为：

（图1） （图2）
、①如图3所示，由图可知，该集合就是整个轴，即：；
②如图4所示，由分类讨论得出，由三段组成：
第一段是轴上，所有满足的点，即：；
第二段是抛物线，原因是到顶点的距离等于到定直线的距离，该抛物线为：

第三段是直线，该直线为：

（图3） （图4）

③如图5所示，由四部分组成。由四条直线将坐标平面分成9个区域，对这9个区域依次讨论满足条件的点集：

第Ⅰ区：到两直线距离相等的点是角平分线，即：；
第Ⅱ区：到定点D的距离等于到定直线轴的距离，是抛物线，但该抛物线不在第 Ⅱ区，故第Ⅱ区域没有满足条件的点；
第Ⅲ区：到两个定点的距离相等，是AD中垂线，即：；
第Ⅳ区：到定点A与到定直线轴的距离相等，是抛物线，即：；
第Ⅴ区：、到两个定点A、D的距离相等，应该是线段AD的中垂线，但该线不经过第Ⅴ区，故在第Ⅴ区没有满足条件的点；
第Ⅵ区：到定直线轴的距离等于到定点O的距离，轴经过点O，故满足条件的点只有轴的非正半轴，即：；
第Ⅶ区：到同一个点O的距离相等，是整个第三象限的点，即：；
第Ⅷ区：到定直线轴，与到定点O的距离相等，轴经过O点，故满足条件的点为轴的非正半轴，即：；
第Ⅸ区：到定点O、D的距离相等的点，为线段OD的中垂线，但该线不经过 第Ⅸ区，故在第Ⅸ区没有满足条件的点。
(图5）
►点评：此题是典型的探究性问题，对学生的综合能力要求很高。题目中自定义了到线段的距离。第一问典型的最值问题，画出图像即可解决；第二问、第三问主要考察轨迹问题，解决这两问的关键在于充分理解圆锥曲线的定义。在能力方面要求考生具有较高的数形结合和分类讨论等相关能力，综合性很强。其他题目赏析：
真题训练
1.（复旦）极坐标表示的下列曲线中不是圆的是（ ）
2.（华南理工）已知圆O：，点是圆O内一点。过点P的圆O的最短的弦在直线上，直线的方程为，那么（ ）。
，且与圆O相交 （B），且与圆O相切
（C），且与圆O相离 （D），且与圆O相离
3.（复旦）已知常数满足。设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比等于（ ）。
（B） （C） （D）
4.（复旦）设有直线族和椭圆族分别为为实数，为参数）和（是非零实数），若对于所有的，直线都与椭圆相交，则应满足（ ）。
（B） （C） （D）
5.（同济）若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的斜率的取值范围是 。
6.（武大）椭圆的半焦距为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率是 。
7.（中南财大）如图，已知椭圆C：的一个焦点到长轴的两个端点距离分别为和，直线与相交于点，与椭圆相交于两点。
求此椭圆的方程。
若，求的值。
求四边形面积的最大值。
8.（清华）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切。
求椭圆的方程
过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值与最小值。
9.（复旦）已知椭圆与抛物线在第一象限内有两个公共点，线段的中点在抛物线上，求。
10.（同济）设有抛物线，点是抛物线的焦点，点在正轴上，动点在抛物线上，试问：点在什么范围内时，恒是锐角？
真题训练答案
1.【答案】D
【分析与解答】：利用极坐标与平面直角坐标转换公式选项A、B、C分别为：，它们都表示圆；选项D，
，，表示双曲线。
2.【答案】：D
【分析与解答】：由于最短的弦与OP垂直，所以的直线方程为：。故与互相垂直。因为圆心O到的距离为。因为，所以，所以
。所以与圆相离。
3.【答案】C
【分析与解答】：由条件可设的方程是，的方程是。又过原点，故由，知，故，从而前应带负号，带正号，且，
所以，得。
4.【答案】B
【分析与解答】：注意到直线横过定点，对所有，直线与椭圆相交，则当且仅当在椭圆内部。所以，即，故选B。
5.【答案】
【分析与解答】：圆：，半径为。如图分别作两条与直线l平行的平行线，这两条平行线与直线l的距离都是，欲使圆上至少有三个不同点到直线l的距离都是，则这两条平行线与圆都有交点。设直线l的斜率为k，直线l:，则问题等价于圆心到直线l的距离。所以。
6.【答案】
【分析与解答】：由。依题意，
，，
故离心率。
7.【分析与解答】：（1）由题意得解得，所以所求的椭圆方程是
。
直线AB，EF的方程分别为。设，，，其中，且满足方程，故①
由知，得；由D在AB上知
，得，所以，化简得，解得或
根据点到直线的距离公式和①式知，点E、F到AB的距离分别是，，又，所以四边形AEBF的面积为
。即当时，四边形AEBF有最大面积。
8.【分析与解答】：（1）设椭圆方程为。因为它与直线只有1个交点，所以方程组只有一解。即方程有相等两根方程
有相等两根。
所以。得。
因为焦点为，所以。
所以所以椭圆方程为。
若PQ斜率不存在（或为0）。则。
若PQ斜率存在（且不为零），设为k，则MN斜率为。所以直线PQ方程为。
设PQ与椭圆交点坐标，联立方程。
为方程的根，所以
。
同理，。
所以

因为，当且仅当时等号成立。所以，所以
。
综述，的面积的最小值为，最大值为2.
9.【分析与解答】：联立消去，得（*）
设交点横坐标为，则由韦达定理知则M横坐标，纵坐标
。
由题意
，又其二根都为正数（A、B在第一象限），故，从而。
将代入（*）中，其判别式。此时确有两个交点，故所求值为。
y
O
x
10.【分析与解答】：解法一：设，则恒为锐角恒成立，代入得


。
若，显然上式恒成立，即为锐角；
若，则恒成立，令
，当，即时取等号。从而。
解法二：设，恒为锐角，所以恒成立，即
恒成立，又代入，所以。对恒成立方程无实根或有两负根。，故（1），（2）且
，，即。
综上，C点横坐标范围是。
五、强化训练
1、（交大）曲线与圆交于A、B两点，线段AB的中点在上，求。
【解析】设，，联立，
因为线段AB的中点在上，所以
，
解得或（舍）
所以
2、（浙大）椭圆与抛物线有公共点，求的取值范围。
【解析】由条件，设椭圆的方程为：
代入抛物线方程得：，从而
因为
3、（浙大）双曲线的离心率为，、两点在双曲线上，且。
（1）若线段AB的垂直平分线经过点，且线段AB的中点横坐标为，试求的值；2
（2）双曲线上是否存在这样的点A与B，满足？不存在
【解析】（1）由条件得离心率，得，从而双曲线方程为，
又因为在双曲线上，故.
由得
即：，
由知，，即，从而
（2）假设存在点，使得，则
由，得：
故 所以不存在点满足要求。
4、（武大）已知点，点A在轴上，点B在轴的正半轴上，点M在直线AB上，且满足，。
（1）当点A在轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（2）设Q为（1）中的曲线C上一点，直线过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，与曲线C相交于另一点R，当（O为坐标原点）时，求直线的方程。
【解析】（1）设，则由射影定理，有，
故 ，即. 由，
故的轨迹方程为
（2）设，点处的切线斜率为，故
代入抛物线方程，解得：
由，解得：，
整理得：. 所以直线的方程：
5、（南开）抛物线，P在M上，Q在N上，求P、Q的最小距离。
【解析】抛物线关于直线对称；
根据图像的对称性，设直线与抛物线相切；
直线与抛物线相切；通过联立方程，
利用分别解得：；
于是：。
6、（清华）已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于Q，与轴交于R，过原点与平行的直线与椭圆交于P。求证：，，成等比数列。
【解析】若直线的斜率不存在，则直线不可能与椭圆有两个交点，故设；
令，则，，故；
联立，消去得：，
；
联立，消去得：，
，
成等比数列。