2023年九年级中考数学复习课件　垂径定理的复习

这是一份2023年九年级中考数学复习课件　垂径定理的复习，共33页。PPT课件主要包含了变求证PBPD，分析题目条件，作半径垂直弦，构造图形等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】1.理解圆的对称性。2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理解决有关的证明，计算问题.
【重点难点】重点：理解圆的对称性，掌握垂径定理及其推论；难点：垂径定理在生活中的应用.
【学】1.垂径定理:垂直于弦的直径　 　这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧　 几何语言：在⊙O中，∵AB是直径, AB⊥CD ∴ ， , ,
【导】1.垂径定理:垂直于弦的直径　平分 　这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧　 几何语言：在⊙O中，∵AB是直径, AB⊥CD ∴ CP=DP ， , ,
注意：1、垂直于弦的半径也满足垂径定理2、垂直于弦的直径所在的直线（或线段)同样满足 垂径定理关键：过圆心
垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 .
经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 .
垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 .
【导】垂径定理及推论可以简记为：(1)过圆心 ； (2)垂直弦 ； (3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧； (5)平分弦所对的劣弧 上面五个条件，“知二推三”，不过我们应当注意，当“经过圆心平分弦：作为题设时，必须是非直径的弦，因为圆中任何两条直径都互相平分 .
【导】垂径定理计算模型 如图所示：垂径定理基本模型中，OB、OP、BP、CP、BC这几条线段之间可以用勾股定理计算： OP²+CP²=OC² CP²+BP²=BC²
【用】例1：(华师版教材40页练习2) 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
考点一：连半径构造直角三角形
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．
【用】变式1：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，求⊙O的周长
  【解析】 如答图，连结OA，设OM＝5x，MD＝8x，则OA＝OD＝13x，又∵AB＝12，由垂径定理可得AM＝6，∴在Rt△AOM中，(5x)2＋62＝(13x)2，
【用】变式2：如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高线AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．
【用】例2：(人教版教材P78作业题第6题)已知，如图，在⊙O中，弦AB∥CD，求证：
考点二：作圆心到弦的垂线
【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．
【用】变式1：如图，矩形ABCD与⊙O相交于点M，N，F，E，若AM＝2，DE＝1，EF＝8，则MN=（ ）
  【解析】 如答图，过点O作OH⊥AB于点H，交CD于点G，则MH＝HN，EG＝GF，∵四边形ADGH是矩形，∴AH＝DG.
【用】变式2：如图，⊙O的弦AB，CD反向延长交于点P，AB＝CD.求证：PO平分∠BPD.
证明：连结OB，OD，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，
【用】例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.（1）求圆心O到水面的距离OC.（2）此时排水管中水的最大深度是多少？（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，水面宽会变为16?
考点三：垂径定理在生活中的应用
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径AO=10，排水管中水面宽AB=12. （1）求圆心O到水面的距离OC.
解 由题意得，OC⊥AB，
Rt△OAC，可知AO、AC长
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
其它相关线段（如最大水深）
最大深度CD=半径长—弦心距OC
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，水面宽会变为16?
多条平行弦，要分别求解
找到直角三角形（双半Rt△）的已知边长
遇多种情况，要分类讨论
【用】例4：如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为8米，隧道拱顶（圆弧中点）到路面的距离为6米，求圆弧形隧道口的半径长，并判断一辆货车，车身（包括集装箱货物）宽为3米，高为4米，能否从这个隧道通过，请说明理由.
【交】小组合作交流，思考以下三个问题思考1：你能根据题意作出隧道横截面的几何图形，并将隧道的相关文字信息借助图形转化为数学语言吗？思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？思考3：把货车截面抽象成一个矩形，那么如何判断货车能否通过，你认为需要求解哪些相关量，如何进行判断呢？
思考1：你能根据题意作出隧道横截面的几何图形，并将隧道的相关文字信息借助图形转化为数学语言吗？
CD⊥AB，CD=6m
变式 如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为8米，隧道拱顶（圆弧中点）到路面的距离为6米，求圆弧形隧道口的半径长，并判断一辆货车，车身（包括集装箱货物）宽为3米，高为4米，能否从这个隧道通过，请说明理由.
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
找圆心，连圆心和弧中点
思考3：把货车截面抽象成一个矩形，那么如何判断货车能否通过，你认为需要求解哪些相关量，如何进行判断呢？
分析 如图所示，若有一个矩形，点E在圆弧上，F在CD上，可根据这个矩形大小与货车大小作比较.
假设EF=3，求DF的长，与4比较大小
假设DF=4，求EF的长，与3比较大小
知弧（或弦）中点，证半径垂直弦
垂径定理在生活中的应用