2023年中考数学一轮复习课件：菱形

这是一份2023年中考数学一轮复习课件：菱形，共40页。PPT课件主要包含了思维导图，互相垂直且平分，考点梳理，互相垂直，基础练考点，第1题图，第2题图，第3题图，第4题图，教材原题到重难考法等内容，欢迎下载使用。
考点 菱形的性质、判定及面积
1. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.
(1)若∠ABC＝70°，则∠ACD的度数为__________；(2)若AB＝10，AC＝12，则BD的长为______，AE的长为________；(3)若OE＋OB＝7，菱形ABCD的周长为20，则菱形ABCD的面积为________．
2. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是(　　)　　　　　　　　　　　　　A. (5，－2) B. (2，－5)C. (2，5) D. (－2，－5)
3. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形 ABCD的周长为________．
4. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，交AC于点O，连接CD.按照下面所给的依据求证：四边形ABCD是菱形．依据1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
证明：依据1：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．
依据2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
依据2：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
与菱形有关的证明及计算
例　教材原题　人教八上P89活动3猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 如图，你可以将等腰三角形ABC沿对称轴AD折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论．
解：DE＝DF，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵等腰三角形ABC沿AD对折，∴BD＝CD，∠B＝∠C，在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.
【一题多解】由折叠可知，BD＝CD，∵△ABC是等腰三角形，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
1. 改变底边上的点为动点，结合面积及垂直关系求线段和如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，点P是BC边上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为6，则PD＋PE的值为________.
【思维教练】要求PD＋PE的值，可将△ABC的面积分成△ABP与△ACP面积之和，用三角形面积公式表示出来，结合AB＝AC，即可求得．
2. 三角形改为矩形， 结合动点及垂直关系求线段和如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若BC＝2AB＝8，则PE＋PF的值为 ________．
【思维教练】要求PE＋PF的值，可根据线段关系先求得矩形面积，从而求得△BOC的面积，将△BOC分为△BOP和△COP，根据面积法即可求得PE＋PF的值．
3. 三角形改为菱形，结合对角线上的垂直关系，求四边形面积如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为(　　)A. S B. S C. S D. S
【思维教练】要求四边形EFOG的面积，根据菱形对角线互相垂直，结合垂线的性质可判断出四边形EFOG的特殊形状，根据点E是线段BC的中点，可得到线段关系，从而证明△FBE≌△GEC，
即可将四边形EFOG的面积表示出来，再结合菱形面积求得．
【拓展设问】记△BEF的面积为S1，四边形EFOG的面积为S2，△CEG的面积为S3，求证：S1＋S3＝S2.
4. 三角形改为菱形，作同一边上的垂线，探究面积关系如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝8，∠BAD＝60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD(或AD的延长线)于点H，得到矩形EFHG.设点E运动时间为t秒．
(1)求点H与点D重合时t的值；
【思维教练】要求点H与点D重合时t的值，由菱形的性质和EG∥AD可以得出AE＝EG，代入求解即可；
解：(1)∵AE＝2t，∠AEF＝30°，∴AF＝t，当点H与点D重合时，FH＝8－t，∴GE＝8－t，∵EG∥AD，∴∠EGA＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠EGA＝30°，∴AE＝EG，∴2t＝8－t，∴t＝ ；
(2)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．
【思维教练】要求矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积S与t之间的函数关系式，需要分以下两种情况讨论：①当H在线段AD上时，重叠的部分为矩形EFHG；②当H在线段AD的延长线上时，重叠的部分为五边形．根据三角函数表示线段长，从而求解．
EF＝AE·sin ∠BAD＝ t，∴S＝EF·EG＝ t·2t＝2 t2，当 ＜t≤4时，如解图，设CD与HG交于点I，此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分的图形为五边形 FEGID，∵AE＝2t，∠AEF＝30°，∴AF＝t，EF＝ t，∴DF＝8－t，
∵AE＝EG＝FH＝2t，∴DH＝2t－(8－t)＝3t－8，∵∠HDI＝∠BAD＝60°，∴tan ∠HDI＝ ＝ ，∴HI＝ DH，∴S＝EF·EG－ DH·HI ＝2 t2－ (3t－8)2 ＝－ t2＋24 t－32 ；
1.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3 ，则AD的长为(　　)　　　　　　　　　　　　　A. B. 2 C. ＋1 D. 2 －1
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan ∠ABE＝ .若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为( )　　 A. y＝3x B. y＝－ x＋ C. y＝－2x＋11 D. y＝－2x＋12
3.如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2 －2.则其中正确结论的个数是(　　)A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】①如图，连接AC，∵∠ABC＝60°，易得△ABC为等边三角形，故有△ACF≌△ABE，∴BE＝CF，结论正确；
②由①得△AEF为等边三角形，故根据∠EAB＋∠AEC＝∠AEC＋∠CEF＝60°，可得∠EAB ＝∠CEF，结论正确；③根据②结论，可得∠AEC≠60°，故不相似，结论错误；④如图，过点F作FG⊥BC于点G，可知∠GFC＝30°，过点A作AK⊥BC于点K，
∴CF＝2 －2，∴FG＝CF·cs 30°＝3－ ，结论错误．故选B.
4.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10, 对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋ PB的最小值是____________．
【解析】如图，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MN⊥BC于点N.
由两点之间线段最短可知，当M，P，Q三点共线，即点Q与点N重合时，MP＋PQ取得最小值，最小值为MN的长．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝ CM＝ ，∴MP＋ PB的最小值为 .
5. 已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．(1)如图①，连接CE，CF.CE⊥AB，CF⊥AD.①求证：CE＝CF；
(1)①证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝DC，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴CE＝CF；
②若AE＝2，求CE的长；
②解：如图，连接AC，
(2)如图②，连接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长．
(2)解：如图，延长FE交CB的延长线于点M，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴ME＝EF，BM＝AF，
∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴BE＝3，ME＝4，BM＝2，BC＝AB＝2AE＝6，∴CM＝BC＋BM＝6＋2＝8，∴ ， ，∴ ，∵∠M＝∠M，∴△MEB∽△MCE，