2023年中考数学专题复习课件： 线段问题

这是一份2023年中考数学专题复习课件： 线段问题，共42页。PPT课件主要包含了典例精析，针对训练，2求点P的坐标，则∠CGD＝90°等内容，欢迎下载使用。
例　如图，抛物线y＝－ x2＋ x－2与x轴交于A，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C.
(1)如图①，点P是线段AC上方抛物线上一动点，过点P作PG⊥x轴且交x轴于点F，交AC于点G，当PF＝ FG时，求点P的坐标；
【思维教练】要求点P的坐标，用含x的函数解析式与点的特征设出点坐标，根据题中的条件，可将线段PF ，FG表示出来，再通过线段数量关系列出关系式即可求解．
∵点P在抛物线上，∴设点P(x，－ x2＋ x－2)，∵PG⊥x轴于点F，交AC于点G，∴点F(x，0)，G(x， x－2)，∴PF＝|－ x2＋ x－2|，FG＝| x－2|，分两种情况讨论：①当点P在x轴上方时， ，
即－x2＋5x－4＝－ x＋2，解得x1＝ ，x2＝4(不合题意，舍去)，∴P( ， )；②当点P在x轴下方时， ，即x2－5x＋4＝－ x＋2，解得x3＝ ，x4＝4(不合题意，舍去)，
∴P( ，－ ).综上所述，点P的坐标为( ， )或( ，－ )；
(2)如图②，点M是抛物线上位于直线AC上方的一点，过点M作y轴的平行线交AC于点N，是否存在点M，使得MN＋CN的值最大？若存在，求出点M的横坐标及MN＋CN的最大值；若不存在，请说明理由；
【思维教练】设出点M的坐标，先用含未知数的代数式表示线段MN的长，再过点N作y轴的垂线，构造直角三角形，用含未知数的代数式表示出线段CN的长，然后将两条线段相加，利用二次函数性质求解即可．
(2)解：存在．∵点M在抛物线上，设点M(m，－ m2＋ m－2)，则N(m， m－2)，∴MN＝－ m2＋2m，如图，过点N作NH⊥y轴于点H，
∴MN＋CN＝－ m2＋ m＝－ (m－ )2＋ ＋ ，∵－ ＜0，0＜m＜4，∴当点M的横坐标为 时， MN＋CN的值最大，最大值为 ＋ ；
(3)如图③，若点K(3，m)是抛物线上的一点，抛物线顶点为D，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQDK的周长最小，求点P，Q的坐标．
【思维教练】要求四边形PQDK周长的最小值，可分别作点D关于y轴的对称点D′，点K关于x轴的对称点K′，连接D′K′，则D′K′与y轴，x轴的交点即为使四边形PQDK周长最小的点Q，P.
(3)解：如解图②，作点D关于y轴的对称点D′，作点K关于x轴的对称点K′，连接D′K′，交y轴于点Q，交x轴于点P，此时四边形PQDK的周长最小．∵D为抛物线顶点， ∴D( ， )，∴D′(－ ， )，∵点K(3，m)在抛物线上， ∴K(3，1)，∴K′(3，－1)，设直线D′K′的表达式为y＝k1x＋b1，
将点D′(－ ， )，K′(3，－1)代入得， ，解得 ，∴直线D′K′的表达式为y＝－ x＋ ，当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝ ，∴点P的坐标为( ，0)，点Q的坐标为(0， ).
1. 抛物线的解析式是y＝－x2＋4x＋a.直线y＝－x＋2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G(5，－3)关于 x轴对称．(1)如图①，求射线MF的解析式；
解：(1)令y＝0，则有0＝－x＋2，解得x＝2，∴点M(2，0)，∵点F与点G(5，－3)关于x轴对称， ∴点F(5，3)，设射线MF的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将M，F的坐标代入，得 ，解得 ，∴射线MF的解析式为y＝x－2(x≥2)；
(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线 EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2(x1＜x2)，求 x1＋x2的值；
(2)如图，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q.
(3)如图②，当抛物线经过点C(0，5)时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝－x＋2交于点N.求 的最大值．
(3)如图，过点A和点P分别作y轴的平行线，交直线y＝－x＋2于点F，D，
∵抛物线y＝－x2＋4x＋a经过点C(0，5)，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5， ∴点A(－1，0)，∴点F的坐标为(－1，3)， ∴AF＝3.设点P的坐标为(n，－n2＋4n＋5)， 则点D的坐标为(n，－n＋2)，∴PD＝－n2＋4n＋5－(－n＋2)＝－n2＋5n＋3，∴ ，
∵－ ＜0，－1＜n＜5，∴当n＝ 时， 有最大值，最大值为 .
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和点B(0，3)，∴将点A(－1，0)，B(0，3)代入， 得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴C(1，4).如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
由题可知，∠CDP＝90°，CD＝PD，设D(1，q)， 则CD＝PD＝4－q，∴OQ＝1＋4－q＝5－q，∴P(5－q，q)，
又∵点P在抛物线上，∴－(5－q)2＋2(5－q)＋3＝q，解得q＝3或q＝4.∵点D位于点C下方，∴q＝3，∴点P的坐标为(2，3)；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在．由(2)知抛物线顶点坐标为(1，4)， 将抛物线平移使顶点落在原点，即将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，∴点E的坐标为(1，－1).
如解图②，设点E关于y轴的对称点为点F，连接PF，交y轴于点M，连接EM，∴F(－1，－1)，ME＝MF，∴MP＋ME＝MP＋MF≥PF，∴当P，M，F三点共线时， MP＋MF的值最小，即MP＋ME的值最小．设直线PF解析式为y＝kx＋d(k≠0)，将点F(－1，－1)，P(2，3)代入，
得 ，解得 ，∴直线PF的解析式为y＝ x＋ .∵点M在y轴上，∴点M的坐标为(0， ).
3.如图，二次函数y＝－ x2＋ x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m .过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E.(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 BC的函数表达式；
解：(1)由y＝－ x2＋ x＋4得，当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为(0，4)；当y＝0时，－ x2＋ x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8.∵点A在点B的左侧，∴A(－2，0)，B (8，0).∴直线BC的函数表达式为y＝－ x＋4；
(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
∵∠PDO＝∠COD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴CG∥OB，DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴∠1＝∠2.∵∠CGE＝∠BOC＝90°，∴△CGE∽△BOC， ∴ ，即 ，∴EG＝ m，
∵CP＝CE，CG⊥PE, ∴PG＝EG＝ m，∴PD＝PG＋DG＝ m＋4，∴－ m2＋ m＋4＝ m＋4，解得m1＝4，m2＝0(舍去)，∴m＝4.当m＝4时，y＝－ m2＋ m＋4＝6，∴点P的坐标为(4，6)；
(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【解法提示】如图，过点F作FH⊥PD，交PD延长线于点H，设PF交x轴于点I，
∵PF∥AC，PD⊥x轴，∴∠PFH＝∠PID＝∠CAB，∴tan ∠PFH＝2.由(2)可知，P(m，－ m2＋ m＋4)，CG＝m，GE＝ m，∵CG⊥PD，FH⊥PH，∴FH＝CG＝m，∴在Rt△PFH中，PH＝2FH＝2m，∴点H的纵坐标为－ m2＋ m＋4－2m＝－ m2－ m＋4，∴HD＝|－ m2－ m＋4|，
∵CE＝FD，CG＝FH，∠CGE＝∠FHD，∴Rt△CGE≌Rt△FHD(HL)，∴GE＝HD.∵点P在第一象限，∴0＜m＜8，∴ m＝|－ m2－ m＋4|.①当 m＝－ m2－ m＋4时，解得m1＝2 －2，m2＝－2 －2(舍去)；
②当 m＝ m2＋ m－4时，解得m3＝4，m4＝－4(舍去).综上所述，m的值为4或2 －2.
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；
(1)解：∵抛物线与x轴交于点B(2，0)，顶点坐标为(0，4)，∴将(2，0)，(0，4)代入y＝ax2＋c中， 得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4;
(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(2)证明：如图，过点M作MD⊥y轴，垂足为点D.
当△AOG与△MOG都以OG为底时，∵S1＝2S2，∴OA＝2DM.当y＝0时，则－x2＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝2.∵B(2，0)，∴A(－2，0)，∴OA＝2，DM＝1.
设点M的坐标为(m，－m2＋4)，∵点M在第一象限，∴m＝1，∴－m2＋4＝3，∴M(1，3). 设直线AM的解析式为y＝k1x＋b1， ∴ ，解得 ，∴直线AM的解析式为y＝x＋2. 设直线CN的解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，∵直线CN∥AM，∴k2＝k1＝1，∴y＝x＋b2，
∵C(0，4)，∴b2＝4，∴直线CN的解析式为y＝x＋4，令x＋4＝－x2＋4，解得x3＝0，x4＝－1.∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为－1，∴N(－1，3). ∵M(1，3)，∴点N与点M关于y轴对称；
(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)解：存在点M，使得2OH－OG＝7. 如图，过点M作 ME⊥x轴，垂足为点E.
∵M(m，－m2＋4)，∴OE＝m，ME＝－m2＋4，∵B(2，0)，∴OB＝2， ∴BE＝2－m.
在Rt△BEM和Rt△BOH中，∵tan ∠MBE＝tan ∠HBO， ∴ ，∴OH＝ ＝2(2＋m)＝2m＋4.∵OA＝2，∴AE＝m＋2， 在Rt△AOG和Rt△AEM中，∵tan ∠GAO＝tan ∠MAE， ∴ ，∴OG＝ ＝2(2－m)＝4－2m.