2023届北京市东城区高三一模数学试题(含答案)

绝密★启用前

2023年北京市东城区高考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，且，则可以为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在复平面内，复数对应的点的坐标是，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知正方形的边长为，为正方形内部不含边界的动点，且满足，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”已知正整数的次方是一个位数，由下面表格中部分对数的近似值精确到，可得的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

10.  函数的定义域为______ ．

11.  的展开式中项的系数为，则实数 ______ ．

12.  已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为        ．

13.  已知数列各项均为正数，，为其前项和若是公差为的等差数列，则        ，        ．

14.  已知函数的部分图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图所示，此时，则        ．

给出下列四个结论：
；
图中，；
图中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；
图中，是及其内部的点构成的集合设集合，则表示的区域的面积大于．
其中所有正确结论的序号是        ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ若是函数的一个零点，求的最小值．

16.  本小题分
甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了次测试，乙进行了次测试每次测试满分均为分，达到分及以上为优秀两位同学的测试成绩如表：

从甲、乙两名同学共进行的次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过分的概率；
从甲同学进行的次测试中随机选取次，设表示这次测试成绩达到优秀的次数，求的分布列及数学期望；
从乙同学进行的次测试中随机选取次，设表示这次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望与中的大小结论不要求证明

17.  本小题分
如图，在长方体中，，和交于点，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求
平面与平面的夹角的余弦值；
点到平面的距离．
条件：；
条件：与平面所成角为．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

18.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的单调递增区间；
Ⅱ设直线为曲线的切线，当时，记直线的斜率的最小值为，求的最小值；
Ⅲ当时，设，，求证：．

19.  本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，离心率．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．
设椭圆的左顶点为，求的值．

20.  本小题分
已知数表中的项；，，，互不相同，且满足下列条件：
；
．
则称这样的数表具有性质．
Ⅰ若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
Ⅱ对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；
Ⅲ对于具有性质的数表，当为偶数时，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得集合，
因为，所以，
故选项B正确，ACD错误．
故选：．
根据不等式的解法求出集合，然后求出的范围，再对各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是，
可得，所以．
故选：．
根据复数的几何意义得到，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
利用基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
所以，解得，，
因为，
所以，．
故选：．
利用余弦定理得到，，利用同角三角函数基本公式得到，然后利用面积公式求面积即可．
本题主要考查余弦定理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
由，可得或或与相交，相交也不一定垂直，
反之，由，可得，而，则．
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查充分必要条件的判定，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即．
故选：．
设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知正方形的边长为，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又为正方形内部不含边界的动点，且满足，
，，
则，
又，
则．
故选：．
先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算及三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：若相邻两项为和，则公比为正数，每一项都为正数，舍去；
若奇数项为和，则奇数项均为正数，舍去；
因此只能和分别为和，
当，时，公比为，则；
当，时，公比为，则；
则的最小值为．
故选：．
分和在相邻两项和不相邻两项，在奇数项和偶数项讨论，求出公比，可得的最小值．
本题考查等比数列的基本量运算，考查分类讨论思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题可知，
，即，
，
，
，
．
故选：．
利用，计算可得结论．
本题考查归纳推理，考查运算求解能力，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：要使有意义，则，解得．
所以原函数的定义域为．
故答案为．
直接由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于联立取交集即可．
本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解： 的通项公式为  ，
令可得，展开式中项的系数为，
，．
故答案为：．
在的通项公式中，令的指数等于，求得，从而得到展开式中项的系数为，解方程求得实数的值．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，得到，是解题的关键，属于中档题．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由题意得，且双曲线的渐近线方程为，
双曲线与直线没有公共点，
取直线为渐近线，则，
又，则，，
双曲线的方程可以是．
故答案为：答案不唯一．
由题意得，且双曲线的渐近线方程为，可得且，求解即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】  

【解析】解：因为数列各项均为正数，，
若是公差为的等差数列，则，
所以，，
所以，
所以，
所以时，，
适合上式，
故．
故答案为：；．
由题意得，可求，然后结合等差数列的通项公式可求，然后结合数列的和与项的递推关系可求．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系，还考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：在图中，过作垂直轴于，
由题意可得，，
，，

解得或舍去，
，当时，，
，或，
当显然不符合图象的变化情况，故舍去，
，故错误；
由题意可得，，
，
，故正确；
，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点，故正确；
，二面角为直二面角可得，
表示的区域的面积为，故错误．
故答案为：；．
由题意可求得周期，进而可得，可求，进而可求，进而计算可判断每个选项的正确性．
本题考查三角函数的图象，考查向量的数量积的计算，考查运算求解能力，属中档题．
 

15.【答案】解：Ⅰ因为，
所以的最小正周期为；
Ⅱ由题设，
由是该函数零点可知，，即，
故，，或，，
解得，或，，
因为，所以的最小值为． 

【解析】Ⅰ将函数化简后利用公式求周期；Ⅱ将零点代入，可得的最小值．
本题考查两角和差公式，函数的零点，三角函数求值，属于基础题．
 

16.【答案】解：由题意可知：甲、乙两名同学共进行的次测试中，
测试成绩超过分的共次，由古典概型的概率计算公式可得，
所以从甲、乙两名同学共进行的次测试中随机选取一次，该次测试成绩超过分的概率；
由题意可知：从甲同学进行的次测试中随机选取次，这次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为，，，
则；；，
所以的分布列为：

所以．
由题意可知：从乙同学进行的次测试中随机选取次，这次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为，，，，
则；；
；，
所以的分布列为：

所以，． 

【解析】根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；
根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；
根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与中期望即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
 

17.【答案】证明：Ⅰ如图，连接，，．

因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
在中，因为，分别为和的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：Ⅱ选条件：D.
连接C.
因为长方体中，所以，
在中，因为为的中点，，
所以，
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，

则，
，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，可得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为；
因为，
所以点到平面的距离为．
选条件：与平面所成角为．
连接C.
因为长方体中，平面，平面，
所以C.
所以为直线与平面所成角，即，
所以为等腰直角三角形，
因为长方体中，所以．
所以．
以下同选条件． 

【解析】Ⅰ利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；
Ⅱ若选条件，利用，通过推理论证得到，建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解；
若选条件，利用与平面所成角为，通过推理论证得到，建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．
本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ当时，，故，令，则，
即的单调递增区间为
Ⅱ由，可得，即直线的斜率为，
设，则，因为，故，
当时，，在上递减，当时，，在上递增，
故，即，即，而，故的最小值为．
Ⅲ证明：由已知，由Ⅱ可知时，为单调增函数，
由，，
则，
又时，为单调减函数，
，
故，
由于，即，故．
故． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，令导数大于，即可求得答案；
Ⅱ求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得函数最值；
Ⅲ根据Ⅱ的结论，判断函数在给定区间上的单调性，即可求得，，比较端点处的值的大小关系，即可证明结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由题设得，解得，，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ直线的方程为，
联立，得，
由，解得，
设，，
所以，，
直线的方程为，
令得点的横坐标为，
同理可得点的横坐标为，
所以

，
因为点的坐标为，
所以为线段的中点，
所以． 

【解析】Ⅰ由题设得，解得，，，即可得出答案．
Ⅱ设，，直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，进而可得点，点的横坐标，计算，由点的坐标为，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ满足条件的数表为，，，
所以的值为，，；
Ⅱ证明：若当取最大值时，存在，使得，
由数表具有性质可得为奇数，
不妨设此时数表为，
若存在为偶数，，使得，交换，的位置，所得到的新数表也具有性质，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，
所以存在正整数，使得，
若对任意的为偶数，，都有，交换和的位置，
所得到的新数表也也具有性质，
此时转化为的表况，
综上可得，存在正整数，使得；
Ⅲ当为偶数时，令，，对任意具有性质的数表，
一方面，，
因此，
另一方面，，，
因此，
记，，
由可得，
又，可得，
构造数表，
可知数表具有性质，且，
综上可知，当为偶数时，求的最大值为． 

【解析】Ⅰ列出数表可求的值；
Ⅱ分类讨论，结合已知及条件可证存在正整数，使得；
Ⅲ利用构造数表法，结合条件可求的最大值．
本题考查数列的应用，考查推理论证能力，属难题．