河南省TOP二十名校2022-2023学年高三下学期四月冲刺考（一）理科数学试题(含答案)

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2022-2023下学年高三年级TOP二十名校四月冲刺考（一）高三理科数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上．3．全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则=（    ）A．   B．    C．    D．2．已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）A．x=0    B．y=0    C．x+y=0    D．x-y=03．下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（    ）A．   B．    C．    D． 4．尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下，人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时、定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（    ）A．69    B．71     C．73     D．755．计划安排甲、乙两个课外兴趣小组到5处水质监测点进行水样采集，每个兴趣小组采集3处水样，每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，则不同的安排方法共有（    ）A．30种    B．32种     C．34种    D．36种6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（    ）A．1    B．    C．    D．27．在正方体中，M，N，P分别为，，的中点，则下列结论中错误的是（    ）A．      B．平面平面C．      D．平面平面8．已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当∠ACB最大时，（    ）A．1    B．    C．    D．29．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（    ）A．24    B．25     C．26     D．2710．已知无穷数列满足：如果，，那么，且，，，是与的等比中项．若的前n项和．存在最大值S，则S=（    ）A．0    B．1     C．2      D．311．已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ）A．当时，S的最大值为B．当时，S的最大值为C．当时，S的最大值为D．当时，S的最大值为12．已知，，，则（    ）
A．．   B．   C．   D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，写出一个与垂直的非零向量______．14．已知曲线过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于点P，．记A，B两点的横坐标分别为，，则______．15．已知双曲线的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．16．某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的倍．如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列，等差数列满足，，．（1）证明：；（2）若为等差数列，求的前n项和．18．（本小题满分12分）太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%，蕴藏着丰富的动植物资源．为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数（单位：个）和岛屿面积（单位：平方千米），整理得到如下数据：样本号i123456岛屿面积x61525344454植物种数y51015192431并计算得，．（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4号样本数据，求y关于x的线性回归方程；（2）根据所求的线性回归方程计算第5，6号样本植物种数的预报值，并与相应植物种数的真实值y，进行比较．若满足，则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由．参考公式：，．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，AB=AC=AD．（1）证明：平面平面BCD；（2）若BD=2，BC=1，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，∠APO=90°，的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．21．（本小题满分12分）已知函数，为的导数．（1）讨论的单调性；（2）若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求，的直角坐标方程；（2）若直线l与交于A，B两点，与交于C，D两点，若，且，求．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知a，b均不为零，且满足．证明：（1）；（2）． 2022-2023下学年高三年级TOP二十名校四月冲刺考（一）高三理科数学参考答案1．【答案】 B【解析】，则．故选B．2．【答案】 B【解析】设复数z，，在复平面内对应的点分别为，，，则的几何意义是Z到A的距离和Z到B的距离相等，则z在复平面内对应的点满足y=0．故选B．3．【答案】 A【解析】．令，则，即，故对称轴可以是直线．故选A．4．【答案】 D【解析】由函数模型，当t=50时，，可得，即．设血液尿酸浓度达到正常值7时，摄入天数为，则，即，②-①可得，即，则，．故选D．5．【答案】 A【解析】依题意，每个兴趣小组采集3处水样，每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，可分为两步．第一步，甲组进行采样，有种方法；第二步，乙组进行采样，有种方法，所以共有10×3=30种方法．故选A．6．【答案】 A【解析】由在上，得12=2p×3，解得p=2，则，直线AF的斜率，倾斜角为60°．如图，过点A作l的垂线，垂足为H．由抛物线的定义可知．在中，∠BAH=60°，，．故选A．7．【答案】 D【解析】在，中，因为M，N分别为，的中点，所以，又，所以，故A选项正确；同理，，则平面，平面，所以平面平面，故B选项正确；因为，，所以，故C选项正确；取BD的中点E，则即为二面角的平面角，易知，则平面与平面不垂直，又平面平面，故平面MNP与平面不垂直，故D选项错误．故选D．8．【答案】 D【解析】在中，．如图，当公共弦AB最大，即AB为圆的直径时，∠ACB最大．此时在中，，，．故选D．9．【答案】 A【解析】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．X所有可能的取值为0，1，2，，n，则，；Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，获胜的业余棋手总人数的期望，解得．故选A．10．【答案】 B【解析】由，，是与，的等比中项，可知．若，由，可知，由，可知，则，则数列：1，2，，4，1，2，，4，，是以4为周期的数列，易知前n项和无最大值．若，同理可得数列{：1，，，4，1，，，4，，则数列是以4为周期的数列，且，，，，所以的最大值S=1．故选B．11．【答案】 D【解析】如图，将圆台补成圆锥PO．设圆台的母线长为l，则，等腰梯形ABCD为过两母线的截面．设PC=x，，由，则有，则．当时，，当最大时，即截面为轴截面时，面积最大，则S的最大值为．当时，，当时，截面面积最大，则S的最大值为．故选D．12．【答案】 C【解析】，，，则．因为，所以，则有．故选C．13．【答案】（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）【解析】由题意可知，设，则，取x=1，则y=-1，则与垂直的非零向量可以为．14．【答案】 【解析】当x>0时，．当x<0时，，根据导数的几何意义结合图象，不妨设，．因为曲线在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，整理得，所以是．15．【答案】【解析】不妨设点P在第二象限，直线AP的方程为y=x+a，联立得点P的纵坐标；联立得点Q的纵坐标．由A为PQ的三等分点，可知，则有，整理，得a=3b，则，故C的离心率．16．【答案】 3【解析】设，．在中，由余弦定理得，由正弦定理得，则．在中，，，则，CD=AC．在中，由余弦定理得当时，取最大值1，则的最大值为9，故BD的最大值为3．17．【答案】见解析【解析】（1）设数列的公差为d，由，得，由，得d=-2，故，即．①递推，得，②，得，故得证．（2）法一：若为等差数列，设公差为，由可得，，．又，即，所以．又，的前n项和法二：由，可知．又，所以．又为等差数列，所以，即，解得，则有，的前n项和．18．【答案】见解析【解析】（1），，所以，所以．所以所求线性回归方程为．（2）当x=44时，，．当x=54时，，．故不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数．19．【答案】见解析【解析】（1）如图，取BD的中点G，连接AG，CG．因为∠BCD=90°，BG=DG，所以BG=CG．又因为AB=AC，AG为公共边，所以，所以∠AGB=∠AGC．同理可得∠AGC=∠AGD，所以∠AGB=∠AGD．因为∠AGB+∠AGD=180°，所以∠AGB=∠AGC=∠AGD=90°，所以，．又因为，所以平面BCD．又因为平面ABD，所以平面平面BCD． （2）过点C作直线平面BCD，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，则有，，．设平面ACD的一个法向量为，由得可取．设直线AB与平面ACD所成的角为，则．，当且仅当，即时，等号成立．因为BD=2，BC=1，∠BCD=90°，所以CD=3，此时三棱锥体积，故当直线AB与平面ACD所成的角最大时，三棱锥的体积为．20．【答案】见解析【解析】（1）不妨设点P在x轴的上方，由椭圆的性质可知．因为是以P为直角顶点的等腰直角三角形，所以，代入，得，整理，得．因为的面积为1，所以，所以，．故椭圆C的方程为．（2）设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，，直线MN的方程为x=my+1．不妨设，则，．联立可得，，则，，所以，即，则，所以，故得证．21．【答案】见解析【解析】（1）设，的定义域为，．当时，，在区间上单调递增．当a>0时，令，得，若，，单调递增；若，，单调递减．综上，当时，在上单调递增；当a>0时在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）直线与曲线有两个交点，即关于x的方程有两个解，整理方程，得．令，其中，则．令，则．当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．由，，得0<x<1时，，则；当时，，则；当时，，则，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．则．当x趋近于时，趋近于0，即当时，；当x趋近于0时，趋近于．故要使直线与曲线有两个交点，则需，即a的取值范围是．22．【答案】见解析【解析】（1）由曲线，的参数方程是，得的直角坐标方程为．由得，又，则有，故的直角坐标方程为．（2）把代入，得，整理，得设，所对应的点分别为A，B，则．把代入，得，整理，得，设，所对应的点分别为C，D，则．因为，，即AB与CD的中点重合，所以，所以，且，所以，故．23．【答案】见解析【解析】（1）因为，即，所以．根据基本不等式，得，当且仅当时，等号成立，整理，得，所以．（2）．由基本不等式和不等式的性质，得，．故，当且仅当时，等号成立，所以．