陕西省商洛市2023届高三二模理科数学试题(含答案)

2023年商洛市第二次高考模拟检测试卷

数学（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第I卷

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设复数满足，则（    ）

A.2    B.    C.4    D.

3.执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A.4    B.5    C.6    D.7
4.已知实数满足约束条件则的最小值为（    ）

A.3    B.-3    C.-8    D.-6
5.函数的部分图象大致是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑､跳､投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者，如图，这是某次十项全能比赛中甲､乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（    ）

A.在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低

B.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡

C.在跳高和铁饼项目中，甲､乙水平相当

D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大

7.先把函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时，函数的值域为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知抛物线的焦点为，点在上，且的面积为12，则（    ）

A.10    B.11    C.12    D.13
9.在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.在中，已知为的中点，，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（    ）

A.的周期为2    B.为偶函数

C.    D.

12.已知函数，若存在，使得，则（    ）

A.    B.

C.    D.

第II卷

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知向量满足，则与的夹角为__________.

14.甲､乙､丙3人每人制作了一张写有励志铭的卡片，将这些卡片装入3个外观完全一样的信封内（一个信封装一张卡片），放在一起后，甲､乙､丙3人每人随机抽取一个信封，则每个人都没有抽到装有自己制作的卡片的信封的概率为__________.

15.在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为__________.

16.已知椭圆，斜率为的直线与交于两点，若直线与的斜率之积为，且为钝角，则的取值范围为__________.

三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤､17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

已知等差数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）设的前项和为，求数列的前项和.

18.（12分）

2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.

（1）若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值.

（2）学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一名，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.

参考数据：.

19.（12分）

如图，在直三棱柱中，是的中点.

（1）证明：平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

20.（12分）

已知双曲线的离心率为2，且双曲线经过点.

（1）求双曲线的方程.

（2）设是直线上任意一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，试判断直线是否过定点.若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

21.（12分）

已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）若，证明：当时，；当时，.

（2）设函数，若是的极大值点，求实数的取值范围.

（参考数据：）

（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）已知点的极坐标为，设曲线和直线交于两点，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

2023年商洛市第二次高考模拟检测试卷

数学参考答案（理科）

1.A 因为，所以，解得，则的解为或，所以.

2.C 因为，所以.

3.B .输出.

4.D 画出可行域（图略）知，当直线过点时，取得最小值一6.

5.C 因为，所以，所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除.当时，，排除D.

6.D 由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，错误；甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，B错误；在铁饼项目中，乙比甲水平高，C错误；甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小于200，D正确.

7.B 把函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），可得函数的图象，再把新得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象.因为，所以，所以，即函数的值域为.

8.A 易知垂直于轴，因为，所以，即，解得，所以.

9.B 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（图略），则，，所以，

可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，所以.

10.A 在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.又，所以，所以，当且仅当时，等号成立.在中，由余弦定理得，所以的最小值为.

11.C 由，得，由，得，所以，即的周期为错误.由可知的图象关于点对称，所以，C正确.由知的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，

进一步可知图象的对称轴方程为（为奇数），所以不是偶函数，B错误.

的对称中心为点（为偶数），无法得到错误.

12.D 令，则，所以在上单调递增，，故错误.由题意得，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，故，B错误.又，所以，所以，所以，C错误，D正确.

13. 设与的夹角为，因为，所以与的夹角为.

14. 符合条件的抽法种数为2，所有抽法的种数为，故所求概率为.

15. 过的中心作的垂线，过边的中点作平面的垂线（图略），设与交于点，则为三棱锥外接球的球心，且.设外接球的半径为，则，所以表面积为.

16. 设，

联立方程组消去得，由，得，

所以，所以，解得（舍去）或.

由为钝角，得，即，

所以，解得，因为0，所以.

17.解：（1）由，得，解得.

又，所以.

（2）由（1）得，

所以，

所以.

18.解：（1），

，

所以，

所以.

（2）的可能取值为，

，

，

，

，

，

所以的分布列为

，

故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.

19.（1）证明：连接交于点，则是的中点，

连接，又是的中点，所以.

又平面平面，所以平面.

（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，.

设是平面的法向量，由

可得令，得.

设是平面的法向量，由可得

令，得.

所以，

即二面角的余弦值为.

20.解：（1）因为离心率为2，所以，即，所以双曲线的方程为.

把点的坐标代入双曲线的方程，得，解得，

所以，双曲线的方程为.

（2）设的方程为，

即，代入，化简整理得.

，

令，得，即.

又，所以，进一步可化为，

所以，

所以的方程可化为，化简得.

同理可得的方程为.

又点在直线和上，所以所以点均在直线上，令，得，故直线过定点.

21.（1）证明：当时，，所以.

令，则.

由，得，由，得，

则在上单调递增，在上单调递减.

因为，所以当，时，，即，则在上单调递减.

因为，所以当时，，当时，.

（2）解：由题意可得，则，且0.

令，则.

令，则.

当时，，所以，即.

所以在上是增函数，则.

①当，即时，在上恒成立，即在上是增函数.

因为，所以，所以在上单调递增.与是极大值点矛盾，即不符合题意.

②当，即时，因为在上是增函数，且，

，

所以，

则当时，，即在上是减函数，从而，

故在上单调递减.

当时，对，

即，所以，则当时，

故在上是增函数.

因为，即当时，在上是减函数，

所以，则在上单调递增，符合是极大值点.

故所求实数的取值范围为.

22.解：（1）将消去参数，得，

所以曲线的普通方程为.

由，得，

将代入上式，得，

所以直线的直角坐标方程为.

（2）因为点的极坐标为，所以的直角坐标为，则点在直线上，

易得直线的参数方程为（为参数），

将其代入圆的方程，并整理得.

因为，所以方程有两个不相等的实数根，设这两个根分别为和，则.

所以

解：（1）当时，，不等式的解集

即不等式的解集.

当时，，得；

当时，，不等式恒成立；

当时，，得.

综上，不等式的解集为.

（2）依题意，关于的不等式有解，即.

因为，所以.

由，得

解得，即实数的取值范围为.