四川省达州市2023届高三二模数学（文科）试题(含答案)

达州市普通高中2023届第二次诊断性测试

数学试题（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．[-1，4]   B．(-1，4]   C．(-1，4)   D．[-1，4)

2．复数，则（    ）

A．   B．   C．   D．

3．先将函数图象上所有的点向下平移一个单位长度，然后将图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（    ）

A．   B．   C．   D．

4．命题p：，，则为（    ）

A．，   B．，

C．，    D．，

5．设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ）

A．5   B．6   C．8   D．12

6．已知，，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素．苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型模拟，其中，，均是常数．则下列最符合实际情况的是（    ）

A．时，y是偶函数      B．模型函数的图象是中心对称图形

C．若，，均是正数，则y有最大值   D．苹果树负载量的最小值是

8．如图，在等腰梯形ABCD中，，，，，，．则（    ）

A．62   B．38   C．   D．

9．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（    ）

A．   B．   C．   D．

10．函数的部分图象如图，A，B，C是曲线与坐标轴的交点，过点C的直线与曲线的另一交点为D．若则（    ）

A．   B．   C．   D．

11．在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的2：1的比例关系，常用的A4纸的长宽比无限接近．把长宽比为的矩形称做和美矩形．如图，是长方体，，，，，，分别是棱，，，的中点．把图中所有的矩形按是否为和美矩形分成两类，再用分层抽样的方法在这两类矩形中共抽取5个，抽得的矩形中和美矩形的个数是（    ）

A．4   B．3   C．2   D．1

12．如图，在中，，，，平面ABC内的点D，E在直线AB两侧，与都是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，分别是，的重心，则（    ）

A．   B．   C．3   D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数x，y满足，则的最大值为______．

14．若，，则实数m的取值范围是______．

15．是离心率为的椭圆C：的一个焦点，直线交C于点A，B，则内切圆面积为______．

16．函数在区间［0，m］上的值域为，则的取值范围为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知是数列前n项和，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记，分别为数列的前n项和与前n项积，求．

18．（12分）

四户村民甲、乙、丙、丁把自己不宜种粮的承包土地流转给农村经济合作社，甲、乙、丙、丁别获得所有流转土地年总利润7％，7％，10％，6％的流转收益．该土地全部种植了苹果树，2022年所产苹果在电商平台销售并售完，所售苹果单个质量（单位：g，下同）在区间［100，260］上，苹果分装在A，B，C，D4种不同的箱子里，共5000箱，装箱情况如下表．把这5000箱苹果按单个质量所在区间以箱为单位得到的频率分布直方图如下图．

（1）根据频率分布直方图，求a和甲、乙、丙、丁2022年所获土地流转收益（单位：万元）：

（2）在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，求这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的概率．

19．（12分）

如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面平面ABCD，，，．O，E分别是AD，BC中点．

（1）证明：平面POE；

（2），，求点E到平面PCD的距离．

20．（12分）

过抛物线C：上一点作C的切线，交C的准线于点．

（1）求点M的坐标；

（2）A，B是C上与M不重合的两点，，O为原点，当点O到直线AB距离最大时，求直线AB的方程．

21．（12分）

已知函数．

（1）若曲线在处的切线过点（0，1），求的值；

（2）若在内有两个不同极值点，．

证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）．

（1）写出C的普通方程和极坐标方程：

（2）设直线与C交于点A，B，求的最大值．

23．［选修4-5；不等式选讲］（10分）

已知函数，，，．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当m取最小值时，证明：．

达州市普通高中2023届第二次诊断性测试

文科数学参考答案

一、选择题：

1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．A 9．A 10．B 11．B 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．   14．   15．   16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（1）证明：∵，∴．

当时，，∴．

当时，

∴的通项公式为，

（2）解：∵，，∴．

∴，

．

∴．

18．解：（1）由图知．

根据表和图得2022年这批流转土地总利润为

万元．

所以甲、乙2022年所获土地流转收益均为万元，丙2022年所获土地流转收益为万元，丁2022年所获土地流转收益为万元．

（2）在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，所有可能结果为：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁6个结果情况，其中甲丙，乙丙，丙丁中恰有1户土地流转收益超过2万元．

设事件M表示“这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元”，则．

所以这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的概率为．

19．（1）证明：∵，O是AD的中点，∴．

∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，

∴平面ABCD．

∵平面ABCD，∴．

设，则．，

在中，由余弦定理得，

∴，∴．

∵E是BC中点，四边形ABCD是平行四边形，

∴，∴．

∵PO，OE是平面POE内两相交直线，∴平面POE．

（2）解：连接OC．

∵O，E分别是AD，BC中点，底面ABCD是平行四边形，∴．

∵平面PDC，平面PDC，∴平面PDC．

∴点E到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离．

∵，，∴，

∴，

∴．

在中，由余弦定理得，

∴，∴的面积．

设O到平面PCD的距离为d，因三棱锥O—PCD与三棱锥C—POD是同一三棱锥，所以，即，∴，

解得．所以点E到平面PCD的距离为．

20．解：（1）由题意得，∴．

∴抛物线C的方程为．

∴．①

当时，由C的方程得，，∴．②

由①②解得，，即M点坐标为（1，1）．

（2）设直线AB的方程为，，．

由方程组得．

∴，，．

∵，，，

∴，即，

∴．

∴，解得，或．

若，则直线AB的方程为，直线AB经过点，不合题意，所以，直线AB的方程为，直线AB经过定点．

∴点O到AB的最大距离为，直线OD的斜率为，∴此时AB的斜率为2，直线AB的方程为，即．

21．解（1）由得，．

∴曲线在处的切线的方程为．

根据条件得，即．

设，则，．

当时，，单调递减，当时，，单调递增．

因，所以，即e是唯一零点．所以．

（2）出（1）知，．

令，得，，，．

∴有两不同解，令，∴

∴由图象可得

∴

．

构造函数，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

∵，∴

∵，

∴，

所以．

22．解：（1）由曲线C的参数方程（为参数）得，．

∴，化简得C的直角坐标方程为．

分别将，，代入C的直角坐标方程并化简得C的极坐标方程为（或）．

（2）设点A，B极坐标分别为，，则

由知，当，即时，取得最大值4．根据题意，不妨取，，所以的最大值为4．

23．（1）解：由，得，

由得．

当时，，不合题意．

当时，若，则，若，．出于射线的斜率，小于射线的斜率，射线的斜率1，大于射线的斜率，所以恒成立．

所以实数m的取值范围是．