浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题(含答案)

湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷

数学试题卷

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2.作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知（其中i为虚数单位），若是的共轭复数，则（    ）

A. B.1 C. D.i

3.设是平行四边形的对角线的交点，则（    ）

A. B. C. D.

4.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（    ）

A. B. C. D.

5.已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得酒店顶端的仰角，则酒店的高度约是（    ）

（参考数据：，，）

A.91米 B.101米 C.111米 D.121米

7.已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（    ）

A. B. C. D.

8.人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知，为两个平面，，为两条直线，平面，平面，则下列命题正确的是（    ）

A.若，则 B.若，为异面直线，则与相交

C.若与相交，则，相交 D.若，则

10.若实数，满足且，则（    ）

A.的最小值是 B.的最大值是99

C.的最小值是 D.的最大值是200

11.已知正方形中，，是平面外一点.设直线与平面所成角为，设三棱锥的体积为，则下列命题正确的是（    ）

A.若，则的最大值是 B.若，则的最大值是

C.若，则的最大值是 D.若，则的最大值是

12.抛物线的焦点为，准线交轴于点，点为准线上异于的一点，直线上的两点，满足（为坐标原点），分别过，作轴平行线交抛物线于，两点，则（    ）

A. B.

C.直线过定点 D.五边形的周长

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的系数是______.

14.定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.

15.已知数列1，1，3，1，3，5，1，3，5，7，1，3，5，7，9，…，其中第一项是1，接下来的两项是1，3，再接下来的三项是1，3，5，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.

16.已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

已知数列满足：，且对任意的，

（1）求，的值，并证明数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本题满分12分）

如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，.

（1）求证：；

（2）若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离.

19.（本题满分12分）

在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，且.

（1）求证：；

（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.

20.（本题满分12分）

为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.

（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？

（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为，且每道题的作答情况相互独立.

（ⅰ）记丙在一道抢答题中的得分为，求的分布列与数学期望；

（ⅱ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求的取值范围.

附：，其中.

21.（本题满分12分）

已知双曲线，点是双曲线的左顶点，点坐标为.

（1）过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于点，，直线，与双曲线的另一个交点分别是点，.试问：直线是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22.（本题满分12分）

已知函数.

（1）当时，函数在上有极小值，求实数的取值范围；

（2）当时，设是函数的极值点，证明：.（其中是自然对数的底数）

湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.20 14.（本题为开放题，只要满足图象中点为其对称中心，轴为其对称轴，且周期为4的函数都可以）

15.59 16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解（1），.……2分

由题意得，

又，所以数列是等比数列.……5分

（若用数列前3项说明是公比为3的等比数列，但没有严格证明的只得3分）

（2）由（1）知.……7分

运用分组求和，可得.……10分

18.解；（1）取的中点，的中点，连接，，，.

因为，在三棱柱可得，四边形为梯形，且，.因为，且，所以.……2分

因为，所以.又平面平面，平面平面

所以平面，所以.……4分因为，，，

所以平面，所以.又，所以.……6分

（2）由（1）知平面，所以，又，

所以是二面角的平面角.……9分所以.

作，由（1）知平面，设，则，在中，，在平行四边形中，，又

在等腰三角形中，解得，所以.……12分

19.解：（1）由题意得，即.

由正弦定理得，……2分

又由余弦定理得，……4分

所以，故，

故，整理得，

又为锐角三角形，所以，因此.……6分

（2）在中，由正弦定理得，所以.……8分

所以，

因为为锐角三角形，且，所以，解得.……10分

故，所以.因此线段长度的取值范围.……12分

20.解：（1）根据所给数据，可得下面的列联表：

根据列联表得，，

又；故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关.……4分

（2）（ⅰ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，丙在一道抢答题中的得分可能为，0，2.

，，

故可列出的分布列如下：

因此.……8分

（ⅱ）在旧赛制下，丙的期望得分为；

在新赛制下，丙的期望得分为.

由题意得，解得的取值范围为.……12分

21.解：（1）由题意得，渐近线的斜率为.……1分

可得直线的方程为，由解得，同理.……3分

所以直线的方程为.……4分

（2）直线过定点.……5分

设直线，的直线方程分别为和.

由得，，解得，则.

同理，则.……7分

又，，三点共线，而，

故，解得.……9分

设，，直线的方程，所以.

即（*）

由，整理得，故

代入（*）化简解得，

即，故或.……11分

当时，，经过点，不合题意，

当时，，经过点，满足题意.

因此直线过定点.……12分

22.解：（1）由题意知在上有极小值，

则在有解，……2分

故，设，显然在单调递增，

又，，所以.……4分

当时，在单调递增，

又，，由零点存在定理可知，且，

此时当时，，当时，，所以在上单调递减，

在上单调递增，故在上有极小值点.

因此实数的取值范围.……6分

（2）由题意知，故.

……8分

.……10分

设，

则，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.因此成立.……12分