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2022年广东省江门市恩平市中考数学一模试卷
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这是一份2022年广东省江门市恩平市中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了，对称轴为直线x＝1，下列结论等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省江门市恩平市中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个实数中，为无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．0.3
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12 B．（﹣2x3）2＝4x6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
4．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
5．（3分）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
6．（3分）已知2a+1和5是正数b的两个不同平方根，则a+b的值是（ ）
A．25 B．30 C．20 D．22
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则∠BAD的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．（3分）函数y＝ax2+1与y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1﹣y2＜0．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分21分）
11．（3分）+＝ ．
12．（3分）菱形的边长为5，则它的周长是 ．
13．（3分）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
14．（3分）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ．
15．（3分）已知直线y＝2x与直线y＝﹣x+b交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是 ．
16．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（6分）计算：（2﹣π）0++|﹣9|﹣tan30°．
19．（6分）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
20．（8分）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有 人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．
21．（6分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
22．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE＝AF．
（1）求证：BD平分∠ABC．
（2）若AF＝3，BF＝5，求BE的长．
23．（10分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．
2022年广东省江门市恩平市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个实数中，为无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．0.3
【解答】解：3是整数，是分数，0.3是有限小数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据中心对称图形的概念，属于中心对称图形的为：
；
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12 B．（﹣2x3）2＝4x6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
【解答】解：A．x3•x4＝x7，不符合题意；
B．（﹣2x3）2＝（﹣2）2（x3）2＝4x6，符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D．x2y÷＝x2y•2x＝2x3y，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝140°，
∴∠C＝∠AOB＝70°，
故选：B．
5．（3分）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选：C．
6．（3分）已知2a+1和5是正数b的两个不同平方根，则a+b的值是（ ）
A．25 B．30 C．20 D．22
【解答】解：由题意得，b＝25，a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3+25＝22．
故选：D．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则∠BAD的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝6，
∴AB＝AD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴AB＝AD＝＝＝5，
∵BE⊥AD，
∴S菱形ABCD＝AD•BE＝AC•BD＝×8×6＝24，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，sin∠BAD＝＝＝，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
9．（3分）函数y＝ax2+1与y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、反比例函数图象在第二、四象限，因此﹣a＜0，可得a＞0，二次函数开口向上，则a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，则a＜0，一致，故此选项正确；
B、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，因此﹣a＜0，可得a＞0，二次函数开口向下，则a＜0，前后矛盾，故此选项错误；
D、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
故选：A．
10．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1﹣y2＜0．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分21分）
11．（3分）+＝ 3 ．
【解答】解：原式＝+2＝3．
故答案为：3
12．（3分）菱形的边长为5，则它的周长是 20 ．
【解答】解：∵菱形的四边相等，边长为5，
∴菱形的周长为5×4＝20，
故答案为20．
13．（3分）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ 1 ．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 （4，） ．
【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
15．（3分）已知直线y＝2x与直线y＝﹣x+b交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是 ．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点坐标为（2，4），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ﹣6 ．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵＝，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴＝（）2＝，
∴S△ABD＝1，
∵＝，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO＝|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 1﹣ ．
【解答】解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝×2×1﹣（+）＝1﹣＝1﹣，
故答案为：1﹣．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（6分）计算：（2﹣π）0++|﹣9|﹣tan30°．
【解答】解：
＝
＝10．
19．（6分）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝2a+1，
当a＝5时，原式＝10+1＝11．
20．（8分）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是60÷10%＝600（人）；
故答案为：600；
（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，
C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，
将两幅不完整的图补充完整如下：
（3）若居民区有8000人，则估计爱吃D饺的人数为8000×40%＝3200（人）；
（4）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小王吃到C饺的结果有6个，
∴小王吃到C饺的概率为＝．
21．（6分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BH于G，
则∠DGB＝90°，GH＝DE＝8cm，
∴BG＝BH﹣GH＝28﹣8＝20（cm），
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG＝，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P，过点A作AK⊥BP于K，
则PE＝BH＝28cm，PD＝BG＝20cm，∠BDP＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠PBD＝90°﹣∠BDP＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AK＝AB＝12（cm），
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，
∴PD＝BD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．
22．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE＝AF．
（1）求证：BD平分∠ABC．
（2）若AF＝3，BF＝5，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ACB，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠F＝∠AEF＝∠BEC，
∵∠F+∠ABF＝∠CEB+∠CBE＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵∠F+∠DAF＝∠F+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAF，
又∵∠F＝∠F，
∴△ADF∽△BAF，
∴，
∴，
∴DF＝，
∵AE＝AF，AD⊥EF，
∴DE＝DF＝，
∴BE＝5﹣﹣＝．
23．（10分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【解答】解：（1）设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：，
解得：，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
（2）由题意得：20m+25m+（150﹣m）×20×0.7+（200﹣m）×15﹣4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF＝AG，∠FAG＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接GM．
则△ADF≌△ABG，DF＝BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG＝EF．
∵∠CEF＝45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，
∴a﹣BE＝a﹣DF，
∴BE＝DF，
∴BE＝BM＝DF＝BG，
∴∠BMG＝45°，
∴∠GME＝45°+45°＝90°，
∴EG2＝ME2+MG2，
∵EG＝EF，MG＝BM＝DF＝NF，
∴EF2＝ME2+NF2；
（3）解：EF2＝2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2
又∴EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2，
即2（DF2+BE2）＝EF2
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，则，
∵OB＝4为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵﹣＜0且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，
∴；
②∵点C（2，0），
∴CO＝2，
如图2，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，
∴P1，P2；
∴点P的坐标为：或．
2022年广东省江门市恩平市中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个实数中，为无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．0.3
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12 B．（﹣2x3）2＝4x6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
4．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
5．（3分）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
6．（3分）已知2a+1和5是正数b的两个不同平方根，则a+b的值是（ ）
A．25 B．30 C．20 D．22
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则∠BAD的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．（3分）函数y＝ax2+1与y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1﹣y2＜0．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分21分）
11．（3分）+＝ ．
12．（3分）菱形的边长为5，则它的周长是 ．
13．（3分）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
14．（3分）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ．
15．（3分）已知直线y＝2x与直线y＝﹣x+b交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是 ．
16．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（6分）计算：（2﹣π）0++|﹣9|﹣tan30°．
19．（6分）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
20．（8分）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有 人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．
21．（6分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
22．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE＝AF．
（1）求证：BD平分∠ABC．
（2）若AF＝3，BF＝5，求BE的长．
23．（10分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．
2022年广东省江门市恩平市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个实数中，为无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．0.3
【解答】解：3是整数，是分数，0.3是有限小数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据中心对称图形的概念，属于中心对称图形的为：
；
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12 B．（﹣2x3）2＝4x6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
【解答】解：A．x3•x4＝x7，不符合题意；
B．（﹣2x3）2＝（﹣2）2（x3）2＝4x6，符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D．x2y÷＝x2y•2x＝2x3y，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝140°，
∴∠C＝∠AOB＝70°，
故选：B．
5．（3分）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选：C．
6．（3分）已知2a+1和5是正数b的两个不同平方根，则a+b的值是（ ）
A．25 B．30 C．20 D．22
【解答】解：由题意得，b＝25，a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3+25＝22．
故选：D．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则∠BAD的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝6，
∴AB＝AD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴AB＝AD＝＝＝5，
∵BE⊥AD，
∴S菱形ABCD＝AD•BE＝AC•BD＝×8×6＝24，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，sin∠BAD＝＝＝，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
9．（3分）函数y＝ax2+1与y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、反比例函数图象在第二、四象限，因此﹣a＜0，可得a＞0，二次函数开口向上，则a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，则a＜0，一致，故此选项正确；
B、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，因此﹣a＜0，可得a＞0，二次函数开口向下，则a＜0，前后矛盾，故此选项错误；
D、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
故选：A．
10．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1﹣y2＜0．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分21分）
11．（3分）+＝ 3 ．
【解答】解：原式＝+2＝3．
故答案为：3
12．（3分）菱形的边长为5，则它的周长是 20 ．
【解答】解：∵菱形的四边相等，边长为5，
∴菱形的周长为5×4＝20，
故答案为20．
13．（3分）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ 1 ．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 （4，） ．
【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
15．（3分）已知直线y＝2x与直线y＝﹣x+b交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是 ．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点坐标为（2，4），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ﹣6 ．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵＝，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴＝（）2＝，
∴S△ABD＝1，
∵＝，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO＝|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 1﹣ ．
【解答】解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝×2×1﹣（+）＝1﹣＝1﹣，
故答案为：1﹣．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（6分）计算：（2﹣π）0++|﹣9|﹣tan30°．
【解答】解：
＝
＝10．
19．（6分）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝2a+1，
当a＝5时，原式＝10+1＝11．
20．（8分）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是60÷10%＝600（人）；
故答案为：600；
（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，
C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，
将两幅不完整的图补充完整如下：
（3）若居民区有8000人，则估计爱吃D饺的人数为8000×40%＝3200（人）；
（4）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小王吃到C饺的结果有6个，
∴小王吃到C饺的概率为＝．
21．（6分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BH于G，
则∠DGB＝90°，GH＝DE＝8cm，
∴BG＝BH﹣GH＝28﹣8＝20（cm），
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG＝，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P，过点A作AK⊥BP于K，
则PE＝BH＝28cm，PD＝BG＝20cm，∠BDP＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠PBD＝90°﹣∠BDP＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AK＝AB＝12（cm），
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，
∴PD＝BD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．
22．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE＝AF．
（1）求证：BD平分∠ABC．
（2）若AF＝3，BF＝5，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ACB，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠F＝∠AEF＝∠BEC，
∵∠F+∠ABF＝∠CEB+∠CBE＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵∠F+∠DAF＝∠F+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAF，
又∵∠F＝∠F，
∴△ADF∽△BAF，
∴，
∴，
∴DF＝，
∵AE＝AF，AD⊥EF，
∴DE＝DF＝，
∴BE＝5﹣﹣＝．
23．（10分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【解答】解：（1）设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：，
解得：，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
（2）由题意得：20m+25m+（150﹣m）×20×0.7+（200﹣m）×15﹣4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF＝AG，∠FAG＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接GM．
则△ADF≌△ABG，DF＝BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG＝EF．
∵∠CEF＝45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，
∴a﹣BE＝a﹣DF，
∴BE＝DF，
∴BE＝BM＝DF＝BG，
∴∠BMG＝45°，
∴∠GME＝45°+45°＝90°，
∴EG2＝ME2+MG2，
∵EG＝EF，MG＝BM＝DF＝NF，
∴EF2＝ME2+NF2；
（3）解：EF2＝2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2
又∴EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2，
即2（DF2+BE2）＝EF2
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，则，
∵OB＝4为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵﹣＜0且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，
∴；
②∵点C（2，0），
∴CO＝2，
如图2，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，
∴P1，P2；
∴点P的坐标为：或．
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