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    人教A版高中数学选择性必修二5.1.2导数的概念及其几何意义教学设计
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    高中数学第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义精品教学设计

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    这是一份高中数学第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义精品教学设计,共11页。

    5.1.2导数的概念及其几何意义       

            

     

    本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修》第章《数列》,本节课主要学习导数的概念及其几何意义

    本节内容通过分析上节,高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题,总结归纳出导数的概念,并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念,它是研究函数基础。在学习过程中,注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。

    课程目标

    学科素养

    A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会导数的概念的实际背景.

    B.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.

     

    1.数学抽象导数的概念

    2.逻辑推理:导数及导数的几何意义

    3.数学运算:曲线在某点处切线的斜率

    4.直观想象:导数的几何意义

     

    重点:导数的概念及其几何意义

    难点:导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解

    多媒体

     

     

     

     

     

     

    教学过程

    教学设计意图

    核心素养目标

    一、    新知探究

    前面我们研究了两类变化率问题:一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域,但在解决问题时,都采用了由平均变化率逼近瞬时变化率的思想方法;问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。

      探究1 对于函数,设自变量变化到+ ,相应地,函数值就从变化到。这时, 的变化量为的变化量为

    我们把比值,即=

    叫做函数从的平均变化率。

     

    1.导数的概念

    如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称yf (x)xx0____,并把这个________叫做yf (x)xx0处的导数(也称为__________),记作f ′(x0)________,即

    f ′(x0)                             .

    可导; 确定的值; 瞬时变化率; y′|

        由导数的定义可知,问题1中运动员在t =1时的瞬时速度,就是函数h(t)=-4.9t24.8t11.

    t =1处的导数(1) ;问题2中抛物线在点(1,1)

    处的切线T的斜率,就是函数x =1处的导数(1) ,实际上,导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率,如效率、国内生产总值(GDP)的增长率等。

    1    . 

    解:=

    =1

    利用导数定义求导数

    1取极限前,要注意化简,保证使Δx→0时分母不为0.

    2函数在x0处的导数f x0只与x0有关,与Δx无关.

    3导数可以描述事物的瞬时变化率,应用非常广泛.

    跟踪训练1. (1)若函数yf (x)xx0处可导,

    等于(  )

    Af ′(x0)  B2f ′(x0)   C.-2f ′(x0)   D0

    (2)求函数y3x2x1处的导数.

    (1)B [Δx(x0h)(x0h)2h. 2 2f ′(x0).故选B.]

    (2)解:Δyf (1Δx)f (1)3(1Δx)23x3(Δx)2

    6xf ′(1) (6x)6.

    跟踪训练2.建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元,yx的函数,yf (x)0.3,求f ′(100),并解释它的实际意义.

     [] 根据导数的定义,得

    f ′(100)

    0.105.

    f ′(100)0.105表示当建筑面积为100 m2时,成本增加的速度为1 050/m2.

      探究2我们知道,导数表示函数处的瞬时变化率,反映了函数附近的变化情况,那么导数的几何意义是什么?

    观察函数

    平均变化率

    =表示什么?

    瞬时变化率

    ==表示什么?

     

    2.导数的几何意义

    (1)导数的几何意义

    如图,割线P0P的斜率k___________.Δxxx0,当点P沿着曲线yf (x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数yf (x)xx0处的导数,因此,函数yf (x)xx0处的导数f ′(x0)就是__________的斜率k0,即k0 f ′(x0)

    切线P0T

    3.导函数

    对于函数yf (x),当xx0时,f ′(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f ′(x)便是x的一个函数,我们称它为yf (x)的导函数(简称为导数),即f ′(x)y                  .

     

    4. 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

    h(t)=-4.9t24.8t11的图像,根据图像,请描述、比较曲线h(t)t=

    附近的变化情况。

    解:我们用曲线h(t)t=处的切线斜率,刻画曲线h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况
    1)当t=时,曲线h(t)t=处的切线平行于t轴,=0,

    这时,在t=附近曲线比较平坦,几乎没有升降;
    2)当t=时,曲线h(t)t=处的切线斜率<0,这时,

    t=附近曲线下降,即函数h(t)t=附近单调递减;
    3)当t=时,曲线h(t)t=处的切线斜率<0,

    这时,t=附近曲线下降,即函数h(t)t=附近单调递减;
    从图可以看出,直线倾斜程度小于直线倾斜程度,这说明曲线h(t)t=附近比在t=附近下降得缓慢。

    导数几何意义理解中的两个关键

    关键点一:yf x在点xx0处的切线斜率为k,则k0f x00k0f x00k0f x00.

    关键点二:|f x0|越大x0处瞬时变化越快;|f x0|越小x0处瞬时变化越慢.

    跟踪训练3 (1)已知函数yf (x)的图象如图所示,则其导函数yf ′(x)的图象可能是(  )

     

       A     B     C    D

    (2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示.在这四种方案中,运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(  )

    A    B     C     D

    [思路探究] (1)切线斜率大于零,则f ′(x)0;切线斜率小于零,则f ′(x)0

    (2)要明确运输效率的含义,题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量,因此,运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大.

    (1)B (2)B [(1)yf (x)的图象及导数的几何意义可知,当x0时,f ′(x)0;当x0时,f ′(x)0;当x0时,f ′(x)0,故B符合.

    (2)从函数图象上看,要求图象在[0T]上越来越陡峭,在各选项中,只有B项中图象的切线斜率在不断增大,即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高.故选B.]

     

     

     

    通过对节两个基本问题的回顾,引导学生归纳、抽象出导数的概念。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过具体问题的思考和分析,一步理解导数的意义。发展学生数学抽象数学运算和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典型例题的分析,帮助学生掌握求解函数导数的基本步骤发展学生数学抽象逻辑推理数学运算和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过回顾曲线上某点出割线与切线斜率的问题,归纳出导数的几何意义,并能简单应用发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典型例题的分析和解决帮助学生理解导数的几何意义,及求曲线上某点处切线斜率基本方法,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

    三、达标检测

    1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)函数yf (x)xx0处的导数即为在该点处的斜率,也就是kf ′(x0) (  )

    (2)f ′(x1)f ′(x2)反映了曲线在xx1处比在xx2处瞬时变化率较大. (  )

    (3)f ′(x0)就是导函数yf ′(x)x0处的函数值. (  )

    (4)f ′(x0)0,则曲线在xx0处切线不存在. (  )

    解析(1)根据导数的几何意义知正确.

    (2)|f (x0)|越大,瞬时变化率越大,故错误.

    (3)根据导函数的定义知正确.

    (4)f ′(x0)0说明曲线在xx0处切线平行于x轴,不能说不存在.

    [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

    2.已知函数yf (x)是可导函数,且f ′(1)2,则 (  )

    A    B2    C1    D.-1

    C [由题意可得: f ′(1),即: ×21.故应选C.]

    3.已知yf (x)的图象如图所示,则f ′(xA)f ′(xB)的大小关系是(  )

    Af ′(xA)f ′(xB)                   Bf ′(xA)f ′(xB)

    Cf ′(xA)f ′(xB)                    D.不能确定

    B 解析:由导数的几何意义,f ′(xA)f ′(xB)分别是切线在点AB处切线的斜率,由图象可知f ′(xA)f ′(xB)

    4.若曲线yx2axb在点(0b)处的切线方程是xy10,则(  )

    Aa1b1               Ba=-1b1

    Ca1b=-1                Da=-1b=-1

    A 解析:由题意,知ky′|x0 1

    a1.又点(0b)在切线上,b1,故选A.

    5.已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150,求切点P的坐标.

    [] 设切点P(mn),切线斜率为k

    y (4xx)4x,得ky′|xm4m.

    由题意可知4m8m2.

    代入y2x27n1.

    故所求切点P(21)

     

    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

     

     

     

     

    四、小结

    1.导函数的概念;

    2.导数的几何意义;

    3.导函数的概念.

    五、课时练

    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。

     

    从学生上节解决的问题出发,引导学生思考、讨论、分析归纳经历数学抽象的过程,形从而构建导数这个数学概念,并能运用概念来解决有关问题,在掌握知识的同时,发展学生的数学核心素养

     

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