2.2　从函数观点看一元二次方程

课标要求　会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数零点与方程根的关系.

素养要求　从函数的观点研究一元二次方程根的情况，发展学生的直观想象及数学抽象素养.

自 主 梳 理

1.二次函数的零点

(1)一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.

(2)关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.

温馨提醒　零点不是点，指的是一个实数.

2.一元二次方程与对应的二次函数之间的关系

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)所有的二次函数都有零点.(×)

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1，0)，(x2，0).(×)

(3)二次函数y＝x2－1的零点为－1，1.(√)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ>0时有两个零点.(√)

2.已知二次函数y＝x2－2x－8，则它的零点为________.

答案　－2，4

解析　由x2－2x－8＝0得(x－4)(x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－2.

3.二次函数y＝ax2＋bx的图象恒过点________.

答案　(0，0)

解析　因为二次函数中常数项c＝0，故恒过点(0，0).

4.若一个一元二次方程的两根为－1，3，则这个一元二次方程可以为________.

答案　x2－2x－3＝0

解析　由根与系数关系得x1＋x2＝－＝2，x1x2＝＝－3，方程为x2－2x－3＝0.

题型一　求二次函数的零点

例1 求下列函数的零点：

(1)y＝3x2－x－4；

(2)y＝－4x2＋4x－1.

解　(1)令3x2－x－4＝0，

解得x1＝－1或x2＝，

所以函数y＝3x2－x－4的零点为－1，.

(2)令－4x2＋4x－1＝0，解得x1＝x2＝，

所以函数y＝－4x2＋4x－1的零点为.

思维升华　求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根.

训练1 若x1，x2是函数y＝2x2－4x＋1的两个零点，则＋的值为(　　)

A.6   B.4 

C.3   D.

答案　A

解析　由题意可得，x1＋x2＝2，x1x2＝，

所以＋＝＝＝6，故选A.

题型二　求二次函数的解析式

例2 根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)；

(2)图象的顶点为(1，2)，且过点(0，4)；

(3)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5).

解　(1)由题意，设二次函数的解析式为

y＝a(x－2)(x－4)，

∴y＝ax2－6ax＋8a，

∵图象过点(0，3)，

∴8a＝3，解得a＝.

∴二次函数的解析式为

y＝(x－2)(x－4)，

即y＝x2－x＋3.

(2)由题意，设二次函数的解析式为

y＝a(x－1)2＋2，

∴y＝ax2－2ax＋a＋2，

∵图象过点(0，4)，∴a＋2＝4，解得a＝2.

∴二次函数的解析式为y＝2(x－1)2＋2，

即y＝2x2－4x＋4.

(3)由题意，设二次函数的解析式为

y＝ax2＋bx＋c，

则有⇒

∴二次函数的解析式为y＝x2－2x＋2.

思维升华　先根据问题中给出的条件选用恰当的解析式，再用待定系数法求解.

训练2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝2或－1时y＝－1，且y＝ax2＋bx＋c的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.

解　法一　利用二次函数的一般式求解.

由题意得解得

∴所求二次函数的解析式为

y＝－4x2＋4x＋7.

法二　利用二次函数的顶点式求解.

设y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，由题意得抛物线的对称轴为直线x＝＝，

即m＝.

又函数的最大值为8，

∴n＝8，∴y＝a＋8.

∵当x＝2时，y＝－1，

∴a＋8＝－1，

解得a＝－4.

∴所求二次函数的解析式为

y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.

题型三　由二次函数的零点求参数的范围

例3 函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.(－∞，5)

C.   D.

答案　C

解析　设函数的两个零点分别为x1，x2，

函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，

即方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，

则x1－2>0，x2－2>0，

∴

即

解得－≤m<－5，

∴实数m的取值范围是，故选C.

思维升华　二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行求解.

训练3 已知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则实数a的取值范围是(　　)

A.(0，1]   B.(－∞，1)

C.(－∞，1]   D.(－∞，0)∪(0，1]

答案　C

解析　当a>0时，

由Δ＝4－4a≥0得0<a≤1，

此时方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝－<0，x1x2＝>0，方程有两负根，

所以0<a≤1.

当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程的两根x1，x2满足x1x2＝<0，此时方程有一正根和一负根，满足题意.

当a＝0时，方程变为2x＋1＝0，有一负根x＝－，满足题意.

故实数a的取值范围是(－∞，1].

[课堂小结]

1.对于函数y＝ax2＋bx＋c，若它是二次函数，则必须满足a≠0.当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论.

2.求二次函数的解析式一般采用待定系数法.当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用零点式.

3.在利用数形结合的思想解决与二次函数图象有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图象(开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可.

4.常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错.

一、基础达标

1.函数y＝4x2＋4x＋3的零点个数是(　　)

A.0   B.1

C.2   D.无法确定

答案　A

解析　由y＝4x2＋4x＋3知对应的方程为4x2＋4x＋3＝0，无实数根，故零点的个数为0.

2.函数y＝x2－a有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A.[0，＋∞)   B.(－∞，0)

C.(0，＋∞)   D.(－∞，0]

答案　C

解析　由x2－a＝0有两个解得a＝x2，

令y1＝a，y2＝x2结合图象可知a>0满足条件.

3.函数y＝2x2＋bx＋c的两个零点为－2，1，则函数的解析式为(　　)

A.y＝2x2－2x－4   B.y＝2x2＋2x－4

C.y＝2x2－2x＋4   D.y＝2x2＋2x＋4

答案　B

解析　由题知2x2＋bx＋c＝0的两根为－2，1，

∴由根与系数的关系可知

解之得

∴y＝2x2＋2x－4.

4.二次函数y＝ax2＋bx－2图象过点(1，4)和(－2，－2)，则二次函数的解析式为(　　)

A.y＝2x2－4x－2   B.y＝x2＋2x－2

C.y＝x2＋4x－2   D.y＝2x2＋4x－2

答案　D

解析　把点(1，4)和(－2，－2)分别代入y＝ax2＋bx－2得

解之得

∴解析式为y＝2x2＋4x－2.

5.关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在(0，1)内，另一根在(1，2)内，则实数m的取值范围为(　　)

A.(－4，－2)   B.(－3，－2)

C.(－4，0)   D.(－3，1)

答案　A

解析　设y＝7x2－(m＋13)x－m－2，要使一根在(0，1)内，另一根在(1，2)内，结合图象则必有解之得－4<m<－2.

6.二次函数y＝x2－ax＋(a2＋2)的零点的个数为________.

答案　0

解析　由题知Δ＝a2－4(2＋a2)＝－3a2－8<0，故零点的个数为0.

7.已知二次函数的图象经过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，则该函数的解析式是________.

答案　y＝－x2＋2x＋3

解析　设二次函数的解析式为

y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，

将点(1，4)代入得a＝－1.

故y＝－x2＋2x＋3.

8.设x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则＋的值为________.

答案　－

解析　因为x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，

所以x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以＋＝＝＝－.

9.已知抛物线过点(－1，0)，(2，7)，(1，4)，求其解析式.

解　设抛物线的解析式为

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∵抛物线过点(－1，0)，(2，7)，(1，4)代入解析式得

解之得

故解析式为y＝x2＋2x＋.

10.已知方程x2＋(2m－3)x＋m2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，求实数m的取值范围.

解　设函数y＝x2＋(2m－3)x＋m2－15，

则由题意：Δ＝(2m－3)2－4(m2－15)>0，

且x＝－2时，y<0，

即解得－1<m<5.

∴m的取值范围为(－1，5).

二、能力提升

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图象可能是下图中的(　　)

答案　A

解析　因为a>b>c，

且a＋b＋c＝0知a>0，c<0，排除B，C，

又∵a＋b＋c＝0，

∴图象过(1，0)点，故选A.

12.函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个不相等的零点，则实数k的取值范围是________.

答案　k<2且k≠1

解析　函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个不相等的零点，

即一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，

则

解得k<2且k≠1.

13.已知函数y＝x2＋ax＋1.若不等式y≥0对一切x∈(0，1]恒成立.

(1)求实数a的最小值；

(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，求实数a的取值范围.

解　(1)函数y＝x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，1]恒成立，即－a≤x＋对一切x∈(0，1]恒成立，

设y＝x＋，x∈(0，1]，

则y＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，

所以－a≤2，即a≥－2，

所以a的最小值为－2.

(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，由二次函数的图象可知，

当x＝1时，y＝2＋a<0，即a<－2.

三、创新拓展

14.已知y＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α，β是方程y＝0的两根(α<β)，则实数a，b，α，β的大小关系是(　　)

A.a<α<b<β   B.a<α<β<b

C.α<a<b<β   D.α<a<β<b

答案　C

解析　设y1＝(x－a)(x－b)，

则a，b是y1＝(x－a)(x－b)的两个零点；

函数y＝(x－a)(x－b)－2的图象可以看成y1＝(x－a)(x－b)的图象向下平移2个单位得到，且a<b，α<β，如图所示：

∴α<a<b<β，∴C选项是正确的.