第二课时　一元二次不等式及其解法(二)

课标要求　1.会解一些简单的分式不等式.2.能利用“三个二次”之间的关系解决相关问题.

素养要求　通过学习分式不等式的解法及有关一元二次不等式的恒成立问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

自 主 梳 理

1.简单的分式不等式的解法

温馨提醒　系数化为正，大于零要取“两端”，小于零要取“中间”.

2.一元二次不等式恒成立问题

(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}.(×)

提示　分式不等式中的分母不等于1，解集为{x|x>1或x≤0}.

(2)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)

提示　需要讨论所给出的不等式是否为一元二次不等式.

(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(√)

2.不等式≤0的解集为________.

答案　

解析　原不等式等价于

即

即－<x≤1.

故原不等式的解集为.

3.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝________.

答案　{x|0<x≤1}

解析　∵A＝{x|－1≤x≤1}，

B＝{x|0<x≤2}，

∴A∩B＝{x|0<x≤1}.

4.不等式x2＋2x＋k≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________.

答案　[1，＋∞)

解析　由题意可得对应方程的判别式Δ＝4－4k≤0恒成立，解得k≥1.

题型一　简单分式不等式的解法

例1 解不等式：

(1)<0；(2)≥0；(3)>1.

解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，

∴－1<x<，

故原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为≤0，

∴∴

即－<x≤1.

故原不等式的解集为.

(3)原不等式可化为－1>0，

∴>0，

∴>0，则x<－2.

故原不等式的解集为{x|x<－2}.

思维升华　分式不等式的解法

(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之不等号右边为零，然后再用上述方法求解.

训练1 解下列不等式.

(1)≥0；(2)>1.

解　(1)原不等式可化为

解得

∴x<－或x≥，

∴原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为>0，化简得>0，

即<0，

∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.

∴原不等式的解集为.

题型二　在实数集R上恒成立问题

例2 若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.

解　要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0，满足题意；

若m≠0，⇒－4<m<0.

所以－4<m≤0.

思维升华　一元二次不等式在R上恒成立问题

ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔

ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔

训练2 已知不等式mx2－2x＋m－2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立，求m的取值范围.

解　当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；

当m≠0时，由二次函数的图象可知有

解得m<1－，故m的取值范围是{m|m<1－}.

题型三　在给定区间上的恒成立问题

例3 若对于x∈[1，3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，求m的取值范围.

解　法一　要使mx2－mx－1<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，

就要使m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立.

令y＝m＋m－6，x∈[1，3].

当m>0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而增大，

∴ymax＝7m－6<0，∴0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而减小，

∴ymax＝m－6<0，得m<6，∴m<0.

综上所述，m<.

法二　当x∈[1，3]时，mx2－mx－1<－m＋5恒成立，即当x∈[1，3]时，

m(x2－x＋1)－6<0恒成立.

∵x2－x＋1＝＋>0，

又m(x2－x＋1)－6<0，

∴m<.

∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m<即可.

思维升华　有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种：

(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.

(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.

训练3 当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围.

解　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立，

即a≤恒成立，即a≤x＋恒成立，

即a≤.

∵x∈(0，＋∞)，

∴x＋≥2＝2，

当且仅当x＝，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，＝2，

∴a≤2，

∴实数a的取值范围是(－∞，2].

[课堂小结]

1.解分式不等式时要注意等价变形，保证分母不为零.

2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.

一、基础达标

1.不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|－1<x≤1}   B.{x|－1≤x<1}

C.{x|－1≤x≤1}   D.{x|－1<x<1}

答案　B

解析　原不等式⇔

∴－1≤x<1.

2.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则(　　)

A.AB   B.BA

C.A＝B   D.A∩B＝∅

答案　B

解析　A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，则BA，故选B.

3.若关于x的方程x2＋2(k－3)x＋4k＝0无实数根，则k的取值范围是(　　)

A.(2，3)   B.(1，9)

C.[2，3]   D.[1，9]

答案　B

解析　由题意知Δ＝4(k－3)2－16k<0，

即k2－10k＋9<0，

解得1<k<9.

4.不等式≥1的解集是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　不等式≥1，

移项得－1≥0，

即≤0，可化为

解得≤x<2，

则原不等式的解集为，故选B.

5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.{a|a<2}   B.{a|a≤2}

C.{a|－2<a<2}   D.{a|－2<a≤2}

答案　D

解析　当a－2＝0，

即a＝2时，－4<0，恒成立；

当a－2≠0时，

解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故选D.

6.不等式>0的解集为________.

答案　{x|x>－5且x≠2}

解析　>0⇔⇔⇔x>－5且x≠2.

7.不等式mx2＋x－1≤0恒成立，则实数m的取值范围是________.

答案　

解析　当m＝0时，不等式可化为x－1≤0，不恒成立.

当m≠0时，有

解得m≤－.

所以m≤－.

8.对于x∈[－5，－1]，不等式－x2＋2x<－m＋3恒成立，则m的取值范围为________.

答案　(－∞，6)

解析　x∈[－5，－1]，－x2＋2x<－m＋3恒成立，

即m<x2－2x＋3恒成立，

即m<(x2－2x＋3)min.

令y＝x2－2x＋3，x∈[－5，－1].

y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

作出图象(图略)知，

当x＝－1时，ymin＝6，

∴m<6.

9.若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.

解　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，

只需解得a>.

综上，所求实数a的取值范围为.

10.关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，

∴4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，

∴m<2x2－8x＋6恒成立，

设y＝2x2－8x＋6，

则当x＝2时，y的最小值为－2.

∴m<－2.

∴实数m的取值范围为{m|m<－2}.

二、能力提升

11.关于x的不等式mx2＋2mx－1<0恒成立的一个充分不必要条件是(　　)

A.－1<m<－   B.－1<m≤0

C.－2<m<1  D.－3<m<－

答案　A

解析　关于x的不等式mx2＋2mx－1<0恒成立，

当m＝0时，可得－1<0，满足题意；

当m≠0时，可得

解得－1<m<0.

综上可得，－1<m≤0.

∴关于x的不等式mx2＋2mx－1<0恒成立的一个充分不必要条件是

－1<m<－.

12.对任意a∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)

A.(1，3) B.(－∞，1)∪(3，＋∞)

C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)

答案　B

解析　设z＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，

当a∈[－1，1]时，z恒大于零.

⇔⇔⇔x<1或x>3.

13.(1)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.

(2)对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.

解　(1)令y＝x2＋mx＋4.

∵y<0在1≤x≤2上恒成立.

∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.

如图，可得

∴m的取值范围是{m|m<－5}.

(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，

即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.

∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.

∵－1≤x≤1，

∴x－2<0.

∴a<＝＝2－x.

令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1.

故a的取值范围为{a|a<1}.

三、创新拓展

14.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是________，若不等式的解集为{x|x≥1或x≤－3}，则a＝________.

答案　(－1，0]　1

解析　当a＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；

当a≠0时，a满足条件

解得－1<a<0.

综上可知，a的取值范围是(－1，0].

若不等式的解集为{x|x≥1或x≤－3}，

∴a≠0且1×(－3)＝，

解得a＝1.