第二课时　等式与不等式的性质

课标要求　1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题.

素养要求　通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，发展学生的数学抽象及数学运算素养.

自 主 梳 理

不等式的性质

性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.

即a>b⇔b<a.

性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.

由以上两性质还可以推出c<b，b<a⇒c<a.

性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.

推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b.

推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；

如果a>b，c<0，那么ac<bc.

推论3：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.

推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N＋).

性质5　如果a>b>0，那么>(n∈N＋).

性质6　如果a>b，ab>0，那么<.

如果a>b，ab<0，那么>.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)a>b⇔ac2>bc2.(×)

提示　当c＝0时，不成立.

(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)

提示　相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系.

(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√)

2.已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是(　　)

A.a<b   B.a>b 

C.与m有关   D.恒成立

答案　B

解析　－＝，而a>0，m>0且>0，

∴a－b>0.即a>b.

3.已知m>n，则(　　)

A.m2>n2   B.>

C.mx2>nx2   D.m＋x>n＋x

答案　D

解析　由于m2－n2＝(m－n)(m＋n)，而m＋n>0不一定成立，

所以m2>n2不一定成立，而，不一定有意义，所以选项A，B不正确；

选项C中，若x2＝0，则不成立.

题型一　利用不等式的性质判断命题的真假

例1 (多选)若<<0，则下面四个不等式中正确的是(　　)

A.|a|>|b|   B.a<b

C.a＋b<ab   D.a3>b3

答案　CD

解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，AB均不正确；

a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；

a3>b3，D正确.

思维升华　不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.

训练1 设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.ac>bd   B.<

C.>   D.ac2<bd2

答案　B

解析　a>b>0，c<d<0，

即为－c>－d>0，

即有－ac>－bd>0，

即ac<bd<0，故A错；

由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘，可得<，则B对，C错；

由－c>－d>0，－ac>－bd>0，

可得ac2>bd2，则D错.故选B.

题型二　利用不等式的性质证明不等式

例2 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.

证明　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，

∴bc＋bd≥ad＋bd，

即b(c＋d)≥d(a＋b).

又bd>0，两边同除以bd得，≤.

思维升华　1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；

2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.

训练2 (1)已知a>b，e>f，c>0，

求证：f－ac<e－bc.

(2)a<b<0，求证：<.

证明　(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.

又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.

(2)由于－＝＝，

∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，

∴<0，故<.

题型三　利用不等式的性质求范围

例3 已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围.

解　∵3<b<4，∴－4<－b<－3.

∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.

又<<，

∴<<，即<<2.

故a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为.

思维升华　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.

训练3 已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.

解　∵－<α<，－<β<，

∴－<－β<.∴－π<α－β<π.

又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，

又2α－β＝α＋(α－β)，

∴－<2α－β<π.

故2α－β的取值范围为.

[课堂小结]

1.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.

2.常见误区：利用不等式的性质求范围问题容易出现所求范围错误的情况.

一、基础达标

1.已知a<b<0，则下列式子中恒成立的是(　　)

A.<   B.>

C.a2<b2  D.<1

答案　B

解析　因为a<b<0，

不妨令a＝－3，b＝－2，

则－>－，可排除A；

(－3)2>(－2)2，可排除C；

＝>1，可排除D；

而－>－，即>，B正确.

2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.x2<ax<a2   B.x2>ax>a2

C.x2<a2<ax   D.x2>a2>ax

答案　B

解析　∵x<a<0，∴x2>a2.

∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.

∴x2>ax>a2.

3.(多选)设a<b<0，则下列不等式中正确的是(　　)

A.>   B.ac<bc

C.|a|>－b   D.>

答案　ACD

解析　a<b<0，则>，选项A正确；

当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；

|a|＝－a>－b，则选项C正确；

由－a>－b>0，可得>，则选项D正确.

4.已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)

A.a>>   B.>>a

C.>a>   D.>>a

答案　D

解析　由题意知>0，b2>1，

则>a，且<0，所以>>a.

5.若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(　　)

A.－3<a－|b|≤3   B.－3<a－|b|<5

C.－3<a－|b|<3   D.1<a－|b|<4

答案　C

解析　∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，

∴－4<－|b|≤0.

又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.

6.若a>b>0，则a＋________b＋(用“<”，“>”，“＝”填空).

答案　>

解析　法一　∵a>b>0，∴0<<，

即>>0，∴a＋>b＋.

法二　a＋－＝，

∵a>b>0，∴a－b>0，ab>0，1＋ab>0，

则a＋>b＋.

7.若a<b<0，则与的大小关系是________.

答案　<

解析　－＝＝，

∵a<b<0，∴a－b<0，则<0，<.

8.已知－≤α<β≤，则的取值范围是________.

答案　

解析　∵－≤α<β≤，

∴－≤<≤.

∴－≤<，①

－<≤，∴－≤－<.②

由①＋②得－≤<.

又知α<β，∴α－β<0.∴－≤<0.

9.判断下列各命题的真假，并说明理由.

(1)若a<b，c<0，则<；

(2)若ac3<bc3，则a>b；

(3)若a>b，且k∈N＋，则ak>bk；

(4)若a>b，b>c则a－b>b－c.

解　(1)∵a<b，不一定有ab>0，

∴>不一定成立，

∴推不出<，∴是假命题.

(2)当c>0时，c3>0，∴a<b，∴是假命题.

(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.

(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，

∴是假命题.

10.已知c>a>b>0，求证：>.

证明　－＝

＝＝.

∵c>a>b>0，

∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.

∴>0.∴>.

二、能力提升

11.如果－1<a<b<0，则有(　　)

A.<<b2<a2   B.<<a2<b2

C.<<b2<a2   D.<<a2<b2

答案　A

解析　∵－1<a<b<0，∴ab>0，

∴<即<<0，

∴0<b2<a2<1，∴<<0<b2<a2<1.

12.若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为________.

答案　(2，5)

解析　∵2<y<4，∴<<.

又∵8<x<10，∴2<<5.

13.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围.

解　法一　设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，

∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.

∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.

则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.

∴4a－2b的取值范围为[－2，10].

法二　令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.

∴∴

又

∴－2≤4a－2b≤10.

∴4a－2b的取值范围为[－2，10].

三、创新拓展

14.古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均近似为黄金矩形.若A与D间的距离大于18.7 m，C与F间的距离小于12 m.则该古建筑中A与B间的距离可能是(　　)

(参考数据：≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236)

A.29 m   B.29.8 m 

C.30.8 m   D.32.8 m

答案　C

解析　由黄金矩形的定义可知≈0.618，·＝≈0.6182≈0.38，所以AB≈>≈30.26 m，AB≈<≈31.58 m，即AB∈(30.26，31.58)，对照各选项，只有C符合.