3.1.3　简单的分段函数

课标要求　1.通过具体实例，了解分段函数，并能简单应用.2.会用解析法和图象法表示分段函数.

素养要求　结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，发展学生的逻辑推理素养和数学运算素养.

自 主 梳 理

1.分段函数

一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数.

温馨提醒　分段函数是一个函数，书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.

2.分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.

3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)分段函数是一个函数，其图象一定是间断的.(×)

提示　图象可间断，也可连续.

(2)分段函数各段上的函数值交集为空集.(×)

提示　在不同段上的函数值可以有相同的.

(3)分段函数各段函数的定义域的交集是空集.(√)

2.函数f(x)＝的值域是(　　)

A.R   B.[0，＋∞)

C.[0，3]   D.[0，2]∪{3}

答案　D

解析　当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]，所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.

3.已知函数f(x)＝则f(2)＝________.

答案　1

解析　f(2)＝＝1.

4.某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________________.

答案　y＝

解析　根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.

题型一　分段函数的实际应用

例1 国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.

(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式；

(2)某人出版了一本书，得稿费5 200元，那么他应纳税多少元？

(3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？

解　(1)依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；

当800＜x≤4 000时，y＝(x－800)×14%；

当x＞4 000时，y＝x×11%.

故y与x之间的函数关系式是y＝

(2)某人得稿费x＝5 200，显然x＞4 000，

∴y＝5 200×11%＝572(元).

即他应纳税572元.

(3)令(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800∈(800，4 000]；而令x×11%＝420，解得x＝3 818∉(4 000，＋∞)，故x＝3 818(舍去).

∴这个人的稿费为3 800元.

思维升华　在自变量的不同范围，分别写出各段的解析式，将各段函数用大括号写成一个分段函数，要注意分段点不重不漏.

训练1 若某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数.

解　该人从A到B地所用时间为＝5时，从B地返回A地所需时间为＝4时.

因此当0≤t≤5时，s＝52t；

当5＜t≤9时，

s＝260＋65(t－5)＝65t－65.

于是此人驱车走过的路程s与时间t的函数关系式如下：s＝

题型二　分段函数求值

例2 已知函数f(x)＝

求f(－5)，f(1)，f.

解　由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.

迁移1 例2条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.

解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－∈(－2，2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2.

迁移2 例2条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.

解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；

当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2；

当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则无解.

综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.

思维升华　1.求分段函数函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；

(2)然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.

2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.

训练2 f(x)＝则f(5)的值是(　　)

A.24   B.21 

C.18   D.16

答案　A

解析　f(5)＝f(f(10))，

f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，

∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.

题型三　分段函数的图象与应用

例3 已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2).

(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；

(2)画出函数f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域.

解　(1)当0≤x≤2时，

f(x)＝1＋＝1；

当－2<x<0时，

f(x)＝1＋＝1－x.

所以f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示.

(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).

思维升华　1.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.

2.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”.

3.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.

训练3 已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)求f(x)的定义域和值域.

解　 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.

(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1.

所以f(x)的值域为[0，1].

[课堂小结]

1.分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.

2.求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.

3.研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.

一、基础达标

1.设函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)

A.0   B.1 

C.2   D.3

答案　A

解析　f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.

2.设函数f(x)＝则f的值为(　　)

A.   B.－ 

C.   D.18

答案　A

解析　当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，

则f(2)＝22＋2－2＝4，

∴＝，当x≤1时，f(x)＝1－x2，

∴f＝f＝1－＝.故选A.

3.已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　)

A.－2或2   B.2或－

C.－2   D.2或－2或－

答案　C

解析　当x≤0时，x2＋1＝5，∴x＝－2或x＝2(舍去).

当x>0时，－2x＝5，x＝－(舍去).

4.设函数f(x)＝　若f(a)＝4，则实数a等于(　　)

A.－4或－2   B.－4或2 

C.－2或4   D.－2或2

答案　B

解析　当a≤0时，f(a)＝－a＝4，

∴a＝－4；

当a＞0时，f(a)＝a2＝4，

∴a＝2或－2(舍去).

5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　　)

A.－   B.

C.－   D.

答案　B

解析　由题图可知，函数f(x)的解析式为

f(x)＝

∴f＝－1＝－，

∴f＝f＝－＋1＝.

6.已知f(x)＝则f(f(f(－2)))＝________.

答案　π＋1

解析　由题意，得f(－2)＝0，f(0)＝π，所以f(f(0))＝f(π)＝π＋1.

7.已知f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.

答案　－或4

解析　x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，

即x＝6，

∴x0＝－或x0＝(舍).

当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.

综上，x0＝－或4.

8.若函数f(x)＝则f(f(f(－2 022)))＝________.

答案　π2＋1

解析　f(－2 022)＝0，

∴f(f(－2 022))＝f(0)＝π，

∴f(f(f(－2 022)))＝f(π)＝π2＋1.

9.已知函数f(x)＝

(1)求f(f(f(5)))的值；

(2)画出函数f(x)的图象.

解　(1)因为5>4，

所以f(5)＝－5＋2＝－3.

因为－3<0，

所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.

因为0<1<4，

所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.

(2)f(x)的图象如图所示.

10.如图所示，定义域为(－∞，2]的函数f(x)的图象是由一条射线及抛物线的一部分组成.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f(m)＝，求实数m的取值集合.

解　(1)因为射线过点(－2，0)，(0，2)，

所以当x≤0时，f(x)＝x＋2.

由题意，知当0<x≤2时，

可设f(x)＝b(x－1)(x－2)(b≠0)，

又b(0－1)×(0－2)＝3，所以b＝，

所以当0<x≤2时，f(x)＝x2－x＋3.

所以f(x)＝

(2)当m≤0时，由m＋2＝，得m＝－；

当0<m≤2时，由m2－m＋3＝，

得m＝(m＝舍去)，

故实数m的取值集合为.

二、能力提升

11.已知f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围为(　　)

A.(－3，＋∞)   B.[－3，＋∞)

C.(－∞，－3)   D.(－∞，－3]

答案　C

解析　当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；

当－2<a<4时，a＋1<－3，a<－4，此时不等式无解；

当a≥4时，3a<－3，a<－1此时不等式无解，故选C.

12.已知函数f(n)＝则f(5)的值是(　　)

A.4   B.48

C.240   D.1 440

答案　C

解析　因为f(n)＝

所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.

13.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.

解　(1)阴影部分的面积为

50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.

阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.

(2)根据图象，

有s＝

相应的图象如图所示：

三、创新拓展

14.已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是(　　)

A.∅   B.[0，2]

C.[－2，0]   D.{－1}∪[0，2]

答案　D

解析　当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，

f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2；

当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，

解得x＝－1，满足条件，

综上x的取值范围是0≤x≤2或x＝－1.