4.5.2　形形色色的函数模型

课标要求　1.会用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型，求出模型的解，验证模型的合理性，解决实际问题.

素养要求　通过建立函数模型解决实际问题，发展学生的数学建模素养和数学运算素养.

自 主 梳 理

1.常见的函数模型

2.应用函数模型解决问题的基本过程

(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.

(4)还原——将数学结论还原为实际问题.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×)

(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.(×)

(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)

(4)利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.(√)

2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.

现构建一个销售这种空调利润的函数模型，应是下列函数中的(　　)

A.y＝log2x   B.y＝2x

C.y＝x2   D.y＝2x

答案　B

解析　逐个检验可得答案为B.

3.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)

A.一次函数   B.二次函数

C.指数型函数   D.对数型函数

答案　D

解析　对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.

4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________(填序号).

①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；

③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.

答案　①

解析　指数函数的增大越来越快.

题型一　已知函数模型解决问题

例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：

f(x)＝

(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？

(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

解　(1)当0＜x≤10时，

f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.

故f(x)在(0，10]上单调递增，最大值为

f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；

当16＜x≤30时，f(x)单调递减，

f(x)＜－3×16＋107＝59.

因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.

(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，

f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5).

因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些.

(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，

则－0.1·(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.

所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.

当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.

所以x＝17 .

因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 －6＝11 ＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.

思维升华　解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合其实际意义作出解答.

训练1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解　(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，

得k1＝，k2＝.

∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0).

(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.

当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.

题型二　函数模型的选择

例2 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N＋)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N＋)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？

解　根据题意可列方程组

解得

所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①

同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②

再将x＝4分别代入①式与②式得

f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，

g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).

与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.

思维升华　建立函数模型应遵循的三个原则

(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.

(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.

(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.

训练2 我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；

(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.

解　(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数.

设h(t)＝at2＋bt＋c，

有⇒

∴h(t)＝－4t2＋20t＋1(t≥0).

(2)h(t)＝－4t2＋20t＋1＝－4(t2－5t)＋1＝－4＋26，

∴当烟花冲出后2.5 s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米.

[课堂小结]

函数模型的选取

(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.

(3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型.

(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.

一、基础达标

1.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(　　)

A.300只   B.400只

C.500只   D.600只

答案　A

解析　由已知第一年有100只，得a＝100.

将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A.310元   B.300元

C.390元   D.280元

答案　B

解析　由图象知，该一次函数过(1，800)，(2，1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.

3.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为(　　)

答案　C

解析　由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升.

4.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)

A.75，25   B.75，16

C.60，25   D.60，16

答案　D

解析　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.

5.衣柜里的樟脑丸，会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新樟脑丸经过50天后，体积变为a.若一个新樟脑丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A.125   B.100 

C.75   D.50

答案　C

解析　由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.

设经过t1天后，一个新丸体积变为a，

则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，

∴＝，t1＝75.

6.已测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用________作为拟合模型较好.

答案　甲

解析　对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，

对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好.

7.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是________.

答案　②④

解析　因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，则②④正确.

8.某商场2021年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：

①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；

②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；

③f(x)＝x2＋px＋q.

能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.

答案　③　x2－8x＋17

解析　由函数图象知，二次函数f(x)＝x2＋px＋q是先下降后上升，所以选③.

由得

解得

则f(x)＝x2－8x＋17.

9.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.

解　设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N＋)，

旅游收费为y，旅游原价为a.

甲旅行社收费：

y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；

乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.

∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，

∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.

当x＞1时，甲旅行社更优惠.

10.某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

解　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图).

观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求.

二、能力提升

11.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　)

A.y＝2t   B.y＝2t2

C.y＝t3   D.y＝log2t

答案　D

解析　由题图知，该函数可能是y＝log2t.故选D.

12.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表

注：地震强度是指地震时释放的能量.

地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于________.(取lg 2＝0.3进行计算)

答案　

解析　由记录的部分数据可知

x＝1.6×1019时，y＝5.0，

x＝3.2×1019时，y＝5.2.

所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①

5.2＝alg(3.2×1019)＋b，②

②－①得0.2＝alg，0.2＝alg 2.

所以a＝＝＝.

13.某汽车制造商在2022年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2022年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

如果我们分别将2019，2020，2021，2022定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？

解　建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).

(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

将点坐标代入，可得

解得a＝1，b＝7，c＝0，

则f(x)＝x2＋7x，

故f(4)＝44，与计划误差为1.

(2)构造指数函数模型

g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，

将点坐标代入，可得

解得a＝，b＝，c＝－42.

则g(x)＝×－42，

故g(4)＝×－42＝44.4，与计划误差为1.4.

由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.

三、创新拓展

14.国庆黄金周及其前后是旅游旺季.某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天(t∈N＋)的部分数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝－t2＋at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt，并求出该函数的解析式；

(2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天，并求出最高日经济收入.

解　(1)由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为单调函数，而Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以选取二次函数进行描述最恰当.

将(1，218)，(8，288)代入Q＝－t2＋at＋b，

可得

解得a＝19，b＝200.

所以Q＝－t2＋19t＋200(1≤t≤20，

t∈N＋).

(2)Q＝－t2＋19t＋200＝－＋，因为1≤t ≤20，t ∈N＋，

所以t＝9或10时，Q取得最大值290万元.