第二课时　函数的奇偶性(二)

课标要求　1.会用函数的奇偶性求解析式.2.会用函数的奇偶性解决相关问题.

素养要求　通过利用函数的奇偶性解决相关问题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.

自 主 梳 理

函数的奇偶性与单调性

(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同).

(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)奇函数在对称区间上单调性一致，故奇函数在定义域上为单调函数.(×)

提示　如f(x)＝，不能说在定义域上单调.

(2)既不是奇函数也不是偶函数的函数没有对称性.(×)

提示　只能说不关于y轴对称，也不关于原点对称，如y＝x2＋2x关于x＝－1对称.

(3)若f(x)是奇函数，则f(0)＝0.(×)

提示　在原点有定义时，f(0)＝0，如f(x)＝，在x＝0处无意义.

2.已知偶函数f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则f(－3)，f(1)，f(2)的大小关系为________.

答案　f(1)<f(2)<f(－3)

解析　因为函数f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，

所以f(－1)<f(－2)<f(－3).

又函数f(x)是偶函数，

则f(－x)＝f(x).

即f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，

所以f(1)<f(2)<f(－3).

3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

答案　－x－1

解析　当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，

所以f(x)＝－x－1.

4.如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3，7]上是________(填“增函数”或“减函数”).

答案　减函数

解析　∵f(x)为奇函数，

∴f(x)在[3，7]上的单调性与在[－7，－3]上的单调性一致，

∴f(x)在[3，7]上是减函数.

题型一　利用奇偶性求函数解析式

例1 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.

(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式.

解　(1)设x>0，－x<0，

则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.

又f(x)是R上的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝x2－x.

又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，

综上可知f(x)＝

(2)设x<0，－x>0，

则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，

又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.

思维升华　利用函数奇偶性求解析式的方法

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应设在哪个区间上.

(2)要利用已知区间的解析式进行代入.

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).

训练1 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.

解　设x＜0，－x＞0，

∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.

又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝2x＋1.

又f(x)(x∈R)是奇函数，

∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.

∴所求函数的解析式为

f(x)＝

题型二　函数单调性与奇偶性的应用

角度1　比较大小

例2 若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)

A.f<f(－1)<f(2) B.f(2)<f<f(－1)

C.f(2)<f(－1)<f D.f(－1)<f<f(2)

答案　B

解析　∵对任意x总有f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，

∴f(2)＝f(－2).

又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，

且－2<－<－1.

∴f(2)＝f(－2)<f<f(－1)，

故选B.

角度2　最值问题

例3 若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，那么f(－x)在区间[－5，－2]上有(　　)

A.最小值5   B.最小值－5

C.最大值－5   D.最大值5

答案　A

解析　奇函数图象关于原点对称，并且奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，所以f(x)在区间[－5，－2]上有最大值－5，所以f(－x)＝－f(x)在区间[－5，－2]上有最小值5.

角度3　不等式问题

例4 定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围.

解　∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，

∴g(1－m)<g(m)⇔g(|1－m|)<g(|m|)⇔⇒

⇒－1≤m<.

即m的取值范围为.

思维升华　函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.

训练2 (1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则

f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________.

(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A.[－2，2]   B.[－1，1]

C.[0，4]   D.[1，3]

答案　(1)f(－2)<f(－3)<f(π)　(2)D

解析　(1)因为f(x)是偶函数，

则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，

又当x≥0时，f(x)是增函数，

所以f(2)<f(3)<f(π)，

即f(－2)<f(－3)<f(π).

(2)∵f(x)是奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝1，

即不等式－1≤f(x－2)≤1，等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，

又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，

所以－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3，故选D.

题型三　函数的奇偶性与对称性

例5 已知函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f

C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f

答案　B

解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，

∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，

∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3).

又f(x)在(0，2)上为增函数，

∴在(2，4)上为减函数，

∴f<f(1)＝f(3)<f.

思维升华　偶函数满足f(－x)＝f(x)，图象关于直线x＝0对称；若函数f(a＋x)＝f(a－x)，则函数关于直线x＝a对称；奇函数满足f(－x)＝－f(x)图象关于(0，0)点对称；若函数f(a－x)＝－f(a＋x)，则图象关于(a，0)点对称.

训练3 若定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)＝(　　)

A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

答案　B

解析　由f(x)＝f(2－x)得函数关于直线x＝1对称，

又偶函数图象关于y轴对称，在[1，2]上是减函数，

则在[－2，－1]上是增函数，在[3，4]上是减函数.

[课堂小结]

1.若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.

2.奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.

3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

一、基础达标

1.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)＝－x(x＋2)   B.f(x)＝x(x－2)

C.f(x)＝－x(x－2)   D.f(x)＝x(x＋2)

答案　A

解析　设x<0，则－x>0，

则f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，

所以f(x)＝－x(x＋2)，故选A.

2.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于(　　)

A.－1   B.1 

C.－5   D.5

答案　D

解析　函数y＝f(x)＋x是偶函数，

∴x＝±2时函数值相等.

∴f(－2)－2＝f(2)＋2，

∴f(－2)＝5，故选D.

3.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得(　　)

A.a<b B.a>b

C.|a|<|b| D.0≤a<b或a>b≥0

答案　C

解析　偶函数f(a)<f(b)，即f(|a|)<f(|b|)，又在[0，＋∞)上是增函数，

∴|a|<|b|.

4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的取值范围是(　　)

A.(－∞，2) B.(2，＋∞)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－2，2)

答案　D

解析　由图象法可解，由函数的性质可画出其图象的示意图如图所示：显然f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜2}.

5.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为(　　)

A.(－3，0)∪(3，＋∞) B.(－3，0)∪(0，3)

C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0，3)

答案　A

解析　∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，

∴f(－3)＝0.

又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数，

∴＝f(x)>0.

①当x>0时，则f(x)>f(3)＝0，∴x>3；

②当x<0时，则f(x)>f(－3)＝0，

∴－3<x<0.

综上可得，原不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).

6.如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.

答案　2x＋3

解析　设x<0，∴－x>0，

∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.

又∵F(x)为奇函数，∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.

7.奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上的最大值为________.

答案　

解析　法一　当x<0时，f(x)＝x2＋x＝－，

所以f(x)有最小值－，

因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值.

法二　当x>0时，－x<0，

所以f(－x)＝－x(1－x).

又f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，

所以当x>0时，f(x)有最大值.

8.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________.

答案　f(－2)<f(1)<f(0)

解析　∵f(x)是偶函数，

∴f(－x)＝f(x)恒成立，

即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，

∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.

∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上是减函数，

∴f(2)<f(1)<f(0)，

即f(－2)<f(1)<f(0).

9.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.

(1)试求f(x)在R上的解析式；

(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

解　(1)因为函数y＝f(x)的图象关于原点对称，

所以f(x)为奇函数，又x∈R，则f(0)＝0.

设x<0，则－x>0，

因为x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.

所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.

于是有f(x)＝

(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.

由图象可知函数y＝f(x)的单调区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，[－1，0)，(0，1]，其中前两个区间是f(x)的增区间，后两个区间是f(x)的减区间.

10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.

解　由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，

又f(x)为奇函数，即f(1－m)<f(m).

又∵f(x)在[0，2]上为减函数且f(x)在[－2，2]上为奇函数，

∴f(x)在[－2，2]上为减函数，

∴即

解得－1≤m<.

因此实数m的取值范围是.

二、能力提升

11.若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为(　　)

A.{x|x>3或－3<x<0} B.{x|x<－3或0<x<3}

C.{x|x<－3或x>3} D.{x|－3<x<0或0<x<3}

答案　C

解析　由于f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在

(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1，即f(x)<f(3)，∴x>3；当x<0时，f(x)<1，即f(x)<f(－3)，∴x<－3，故选C.

12.若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________，g(x)＝________.

答案　－15　－x2＋2x

解析　当x<0时，－x>0，

又f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，

所以f(x)＝－x2＋2x.

即g(x)＝－x2＋2x，

因此，f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.

三、创新拓展

13.已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；

(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.

(1)解　由题意，得

∴(经检验符合题意)，

故f(x)＝.

(2)证明　任取x1，x2∈(－1，1)，

且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵－1<x1<x2<1，

∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0.

又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0.

∴<0，

即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(－1，1)上是增函数.

(3)解　由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，又f(x)在(－1，1)上为奇函数，

∴f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，

∴解得0<t<.

∴不等式的解集为.

14.已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上为减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系为____________________________________.

答案　f(a2－a＋1)≤f

解析　∵f(x)是偶函数，

∴f＝f.

又a2－a＋1＝＋≥，

且f(x)在[0，＋∞)上为减函数，

∴f(a2－a＋1)≤f，

即f(a2－a＋1)≤f.